Algebra - Danh mục - NZQIRC https://nzqirc.xyz/categories/algebra/ Algebra - Danh mục - NZQIRC Hugo -- gohugo.ioviThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.Mon, 14 Sep 2026 11:10:00 +0700 Mối quan hệ giữa ƯCLN và BCNN: Đẳng thức d · m = ab và Tiêu chuẩn nguyên tố cùng nhau https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/gcd-lcm-relationship/ Mon, 14 Sep 2026 11:10:00 +0700 Du Mã https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/gcd-lcm-relationship/ Trong số học, ước chung lớn nhất $\gcd(a, b)$ và bội chung nhỏ nhất $\operatorname{lcm}(a, b)$ là hai mặt đối ngẫu của nhau. Một bên đại diện cho ước chung cực đại, một bên đại diện cho bội chung cực tiểu.

Hai đại lượng này được liên kết chặt chẽ qua một đẳng thức kinh điển:

$$\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = a \cdot b.$$

Bài viết này trình bày lời giải chi tiết cho hai câu hỏi:

]]> Hai số nguyên tố cùng nhau: Chiều đảo Bổ đề Bézout và Tính đối xứng của hệ số https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/coprimality-bezout-characterization/ Mon, 14 Sep 2026 11:05:00 +0700 Du Mã https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/coprimality-bezout-characterization/ Trong bài viết Thuật toán Euclid mở rộng và Bổ đề Bézout, chúng ta đã biết rằng nếu $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($\gcd(a, b) = 1$), thì luôn tồn tại hai số nguyên $r$ và $s$ sao cho:

$$ar + bs = 1.$$

Bài viết này giải quyết hai bài toán cơ bản nhưng rất đẹp:

  1. Chiều đảo của Bổ đề Bézout: Nếu tìm được một tổ hợp tuyến tính bằng $1$, liệu có chắc chắn hai số ban đầu nguyên tố cùng nhau?
  2. Tính đối xứng của các hệ số: Trong đẳng thức $ar + bs = 1$, mối quan hệ về ước chung giữa các cặp $(a, s)$, $(r, b)$ và $(r, s)$ là gì?

Đề bài

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên khác $0$.

]]> Bổ đề Bézout dưới góc nhìn Hình học Mạng lưới và Vành I-đê-an chính (PID) https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/bezout-pid-and-lattices/ Mon, 14 Sep 2026 11:00:00 +0700 Du Mã https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/bezout-pid-and-lattices/ Trong bài viết Thuật toán Euclid mở rộng và Bổ đề Bézout, chúng ta đã tìm hiểu phương pháp tính toán cụ thể để tìm ước chung lớn nhất $d = \gcd(a, b)$ và biểu diễn nó dưới dạng tổ hợp tuyến tính nguyên:

$$d = ra + sb \quad (r, s \in \mathbb{Z}).$$

Tuy nhiên, ngoài giá trị thực hành trong tính toán số học, đẳng thức Bézout còn là cánh cửa dẫn thẳng tới hai khái niệm hình học và đại số trừu tượng quan trọng: Mạng lưới điểm nguyên (Lattice) và Vành I-đê-an chính (Principal Ideal Domain - PID).

]]> Thuật toán Euclid mở rộng và Bổ đề Bézout https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/extended-euclidean-algorithm-bezout/ Mon, 14 Sep 2026 10:47:23 +0700 Du Mã https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/extended-euclidean-algorithm-bezout/ Trong số học và đại số trừu tượng, Đồng nhất thức Bézout (Bézout’s identity) — trong các giáo trình toán học tại Việt Nam phổ biến nhất thường được gọi là Định lý Bézout hoặc Bổ đề Bézout (Bézout’s lemma) — khẳng định rằng với hai số nguyên bất kỳ $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, ước chung lớn nhất $d = \gcd(a, b)$ luôn biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính nguyên của $a$ và $b$:

]]> Nguyên lý Thứ tự tốt và Quy nạp Toán học https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/well-ordering-and-induction/ Mon, 14 Sep 2026 10:16:33 +0700 Du Mã https://nzqirc.xyz/posts/math/algebra/well-ordering-and-induction/ Trong toán học nền tảng, Nguyên lý Quy nạp Toán học (Principle of Mathematical Induction - PMI) và Nguyên lý Thứ tự tốt (Well-Ordering Principle - WOP) là hai nguyên lý trụ cột khi khảo sát tập hợp các số tự nhiên $\mathbb{N}$. Giữa chúng có một sợi dây liên kết trực giác rất rõ ràng:

Để phép quy nạp toán học có thể bắt đầu, ta luôn cần một điểm cơ sở (base step / base case) làm mốc xuất phát ban đầu — và trong cấu trúc của tập số tự nhiên, mốc cơ sở đó thông thường chính là phần tử nhỏ nhất (least element). Nếu không có một “đáy sàn” để neo giữ, lập luận lùi từng bước trong quy nạp có nguy cơ trượt dốc vô hạn. Chính Nguyên lý Thứ tự tốt là định đề bảo đảm sự tồn tại của phần tử nhỏ nhất đó: mọi tập con khác rỗng của $\mathbb{N}$ đều có một phần tử nhỏ nhất xác định, tạo nên điểm tựa không thể thiếu để phép quy nạp vận hành.

]]> Mối quan hệ giữa đa thức đối xứng (symmetric polinomial) và nghiệm (root) của phương trình đa thức https://nzqirc.xyz/posts/math/symmetric-polinomials/01/ Fri, 18 Oct 2024 20:50:00 +0700 Du Mã https://nzqirc.xyz/posts/math/symmetric-polinomials/01/ Các đa thức đối xứng (symmetric polinomials) đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu mối quan hệ giữa các nghiệm (root) của các phương trình đa thức và các hệ số (coefficient) của chúng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá sâu hơn về mối liên hệ này, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tiễn.

1. Đa thức đối xứng:

Định nghĩa cơ bản

Đa thức đối xứng với các biến $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là một đa thức không thay đổi dưới bất kì phép hoán vị (permutation) nào của các biến. Cụ thể, với bất kì phép hoán vị $\sigma$ nào của các chỉ số ${1, 2, \ldots, n}$:

]]>