# Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sở


Ý tưởng của bài này rất đơn giản: một **phép biến đổi tuyến tính** là cách biến cả không gian thành một không gian mới mà vẫn giữ được cấu trúc cộng và nhân vô hướng. Hình vuông có thể thành hình bình hành, hình tròn có thể thành ellipse, mặt phẳng có thể bị ép xuống một đường thẳng, nhưng mọi thứ vẫn biến đổi theo một quy luật rất đều đặn.

Nếu bài về cơ sở trả lời câu hỏi “ta dùng những hướng gốc nào để mô tả không gian?”, thì bài này trả lời câu hỏi tiếp theo:

> Khi một không gian bị biến dạng, các hướng gốc ấy sẽ đi về đâu?

## 1. Phép biến đổi tuyến tính là gì?

Hãy tưởng tượng bạn vẽ một lưới ô vuông lên một tấm cao su mỏng, rồi kéo, ép, nghiêng hoặc quay tấm cao su đó. Sau khi biến đổi:

- các đường thẳng vẫn là đường thẳng;
- gốc tọa độ vẫn đứng yên;
- những gì vốn được tạo ra bằng cách “cộng” và “phóng to” các vectơ thì sau biến đổi vẫn giữ đúng quy luật ấy.

Đó là trực giác của một phép biến đổi tuyến tính.

Trong ngôn ngữ toán học, ánh xạ
$$
T: V \to W
$$
được gọi là **phép biến đổi tuyến tính** nếu với mọi vectơ $u,v \in V$ và mọi số thực $\lambda$, ta có:
$$
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(\lambda u)=\lambda T(u).
$$

Hai điều kiện này nói rằng $T$ tôn trọng đúng hai thao tác nền tảng của đại số tuyến tính: cộng vectơ và nhân vectơ với số thực.

## 2. Vì sao khái niệm này quan trọng?

Một phép biến đổi tuyến tính cho phép ta mô tả rất nhiều hiện tượng khác nhau dưới cùng một ngôn ngữ:

- phóng to hay thu nhỏ một hình;
- kéo giãn mạnh theo một hướng nhưng yếu theo hướng khác;
- nghiêng cả mặt phẳng;
- chiếu một vật thể xuống bóng của nó;
- quay mặt phẳng quanh gốc tọa độ.

Tất cả những ví dụ này trông khác nhau về hình học, nhưng cùng chia sẻ một lõi chung: chúng đều xử lý các tổ hợp tuyến tính một cách nhất quán.

## 3. Một số ví dụ rất điển hình

### 3.1 Phóng to hoặc co lại

Xét phép biến đổi
$$
T(x,y)=(2x,3y).
$$

Nó kéo mọi điểm ra xa gấp đôi theo trục $x$ và gấp ba theo trục $y$. Hình vuông đơn vị sau biến đổi trở thành một hình chữ nhật.

Đây là một phép biến đổi tuyến tính, vì cả hai điều kiện cộng và nhân vô hướng đều hiển nhiên đúng.

### 3.2 Phép cắt nghiêng

Xét
$$
T(x,y)=(x+y,y).
$$

Phép biến đổi này giữ nguyên độ cao $y$, nhưng đẩy điểm sang ngang một lượng đúng bằng $y$. Hình vuông đơn vị không còn là hình vuông nữa; nó biến thành một hình bình hành.

Đây cũng là một phép biến đổi tuyến tính.

### 3.3 Phép chiếu

Xét
$$
T(x,y)=(x,0).
$$

Mọi điểm bị ép xuống trục hoành. Toàn bộ mặt phẳng hai chiều bị “dẹt” xuống một đường thẳng một chiều. Đây là ví dụ rất quan trọng, vì nó cho thấy một phép biến đổi tuyến tính có thể làm mất chiều.

### 3.4 Phép quay trong mặt phẳng

Đây là ví dụ đẹp nhất.

Xét phép quay mặt phẳng quanh gốc tọa độ một góc $\theta$. Nếu $u$ là một vectơ trong mặt phẳng, thì $T(u)$ là vectơ thu được sau khi quay $u$ đi góc $\theta$.

Phép quay là tuyến tính vì:

- quay tổng $u+v$ cho cùng kết quả như quay từng vectơ rồi cộng lại;
- quay một vectơ đã phóng to lên $\lambda$ lần cũng giống như quay vectơ ban đầu rồi phóng to kết quả lên $\lambda$ lần.

Khi $\theta=\frac{\pi}{2}$, ta có phép quay $90^\circ$:
$$
T(x,y)=(-y,x).
$$

Ví dụ:

- $(1,0)$ bị quay thành $(0,1)$;
- $(0,1)$ bị quay thành $(-1,0)$;
- $(1,1)$ bị quay thành $(-1,1)$.

### 3.5 Một ví dụ không tuyến tính

Xét
$$
T(x,y)=(x+1,y).
$$

Đây là phép tịnh tiến cả mặt phẳng sang phải một đơn vị. Về hình học nó rất tự nhiên, nhưng **không** là phép biến đổi tuyến tính.

Lý do sâu xa là gốc tọa độ không còn đứng yên nữa:
$$
T(0,0)=(1,0)\neq (0,0).
$$

Chỉ riêng điều này đã đủ để kết luận $T$ không tuyến tính.

Đây là một điểm rất đáng nhớ:

> Phép tịnh tiến nhìn rất “đẹp”, nhưng không phải là phép biến đổi tuyến tính, vì nó phá vỡ vai trò đặc biệt của gốc tọa độ.

## 4. Ma trận biểu diễn của một phép biến đổi tuyến tính

Một khi đã chọn cơ sở, mỗi vectơ đều có tọa độ. Vì thế, một phép biến đổi tuyến tính cũng có thể được ghi lại bằng một ma trận.

Đây là lý do ma trận xuất hiện tự nhiên: ma trận chính là cách viết tọa độ của một phép biến đổi tuyến tính.

### 4.1 Ý tưởng cốt lõi

Trong $\mathbb{R}^2$, lấy cơ sở chuẩn
$$
e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad
e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.
$$

Mọi vectơ đều có dạng
$$
v=xe_1+ye_2.
$$

Nếu biết $T(e_1)$ và $T(e_2)$, thì ta biết luôn $T(v)$, vì
$$
T(v)=T(xe_1+ye_2)=xT(e_1)+yT(e_2).
$$

Tức là: chỉ cần biết ảnh của các vectơ cơ sở là đủ để biết toàn bộ phép biến đổi.

### 4.2 Cách lập ma trận biểu diễn

Nếu $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ là tuyến tính, thì ma trận biểu diễn của $T$ theo các cơ sở đã chọn được tạo bằng cách:

1. lấy từng vectơ cơ sở của miền xác định;
2. áp dụng $T$ lên vectơ đó;
3. viết kết quả theo cơ sở của miền đích;
4. dùng các tọa độ ấy làm các cột của ma trận.

### 4.3 Ví dụ với phép quay

Quay lại phép quay $90^\circ$:
$$
T(x,y)=(-y,x).
$$

Với cơ sở chuẩn, ta có
$$
T(e_1)=T\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right)
=
\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix},
\qquad
T(e_2)=T\left(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right)
=
\begin{bmatrix}-1\\0\end{bmatrix}.
$$

Vì vậy, ma trận biểu diễn của $T$ theo cơ sở chuẩn là
$$
[T]_E=
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}.
$$

Với phép quay góc tổng quát $\theta$, ma trận quen thuộc là
$$
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}.
$$

Đây là một trong những ma trận quan trọng nhất của đại số tuyến tính.

## 5. Nhiều ví dụ về ma trận biểu diễn

### 5.1 Phóng to

Với
$$
T(x,y)=(2x,3y),
$$
ta có
$$
T(e_1)=\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix},\qquad
T(e_2)=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}.
$$

Vì vậy
$$
[T]_E=
\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix}.
$$

### 5.2 Cắt nghiêng

Với
$$
T(x,y)=(x+y,y),
$$
ta có
$$
T(e_1)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad
T(e_2)=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}.
$$

Do đó
$$
[T]_E=
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}.
$$

### 5.3 Phép chiếu lên trục hoành

Với
$$
T(x,y)=(x,0),
$$
ta có
$$
T(e_1)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\qquad
T(e_2)=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix},
$$
nên
$$
[T]_E=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}.
$$

Cột thứ hai bằng $0$ cho thấy toàn bộ hướng $e_2$ bị triệt tiêu.

## 6. Đổi cơ sở: cùng một phép biến đổi, ma trận có thể khác

Đây là chỗ rất nhiều người mới học hay bị rối:

> Phép biến đổi là một đối tượng hình học. Ma trận chỉ là cách ta ghi tọa độ của đối tượng ấy theo một cơ sở nào đó.

Vì vậy, nếu đổi cơ sở, ma trận thường sẽ đổi theo, dù phép biến đổi hình học vẫn y nguyên.

### 6.1 Trực giác

Hãy tưởng tượng bạn mô tả chuyển động trong một thành phố.

- Nếu dùng trục Bắc-Nam và Đông-Tây, bạn sẽ ghi một điểm bằng một cặp tọa độ kiểu này.
- Nếu dùng hai con đường chéo làm trục mới, cùng một điểm đó sẽ có một cặp tọa độ khác.

Điểm không thay đổi. Chỉ có hệ quy chiếu thay đổi.

Điều tương tự xảy ra với ma trận biểu diễn của một phép biến đổi tuyến tính.

### 6.2 Ví dụ: quay $90^\circ$ nhưng đo bằng một cơ sở xiên

Xét lại phép quay
$$
T(x,y)=(-y,x).
$$

Thay vì cơ sở chuẩn, ta chọn cơ sở mới
$$
B=\left\{
v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},
v_2=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
\right\}.
$$

Ta sẽ tìm ma trận biểu diễn của cùng phép quay này theo cơ sở $B$.

Trước hết:
$$
T(v_1)=T\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right)
=
\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.
$$

Viết vectơ này theo cơ sở $B$:
$$
\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}
=
-1\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
+1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}.
$$

Vì vậy
$$
[T(v_1)]_B=
\begin{bmatrix}
-1\\
1
\end{bmatrix}.
$$

Tiếp theo:
$$
T(v_2)=T\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right)
=
\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}.
$$

Viết theo cơ sở $B$:
$$
\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}
=
-2\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
+1\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}.
$$

Do đó
$$
[T(v_2)]_B=
\begin{bmatrix}
-2\\
1
\end{bmatrix}.
$$

Vì thế ma trận biểu diễn của $T$ theo cơ sở $B$ là
$$
[T]_B=
\begin{bmatrix}
-1 & -2\\
1 & 1
\end{bmatrix}.
$$

So sánh:

- theo cơ sở chuẩn,
  $$
  [T]_E=
  \begin{bmatrix}
  0 & -1\\
  1 & 0
  \end{bmatrix};
  $$
- theo cơ sở $B$,
  $$
  [T]_B=
  \begin{bmatrix}
  -1 & -2\\
  1 & 1
  \end{bmatrix}.
  $$

Hai ma trận khác nhau, nhưng đều mô tả cùng một phép quay.

### 6.3 Công thức đổi cơ sở

Nếu $P$ là ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang cơ sở chuẩn $E$, thì
$$
[T]_B=P^{-1}[T]_E P.
$$

Đây là công thức rất quan trọng. Nó nói rằng ma trận thay đổi theo cơ sở, nhưng thay đổi có quy luật.

## 7. Ý nghĩa hình học của ma trận biểu diễn

Khi nhìn một ma trận biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính, ta thường muốn hỏi:

- nó kéo giãn theo hướng nào?
- có ép một chiều nào về $0$ không?
- có quay hay phản xạ không?
- có làm méo hệ trục hay không?

Ma trận không chỉ là bảng số. Nó là cách nén toàn bộ hành vi hình học của một phép biến đổi vào một đối tượng tính toán được.

Ví dụ:

- ma trận chéo thường cho thấy phép kéo giãn theo các trục cơ bản;
- ma trận có một cột bằng $0$ thường cho thấy một hướng bị triệt tiêu;
- ma trận quay cho thấy cả không gian được quay mà không đổi độ dài;
- ma trận đổi cơ sở cho thấy hình học không đổi, chỉ cách đo thay đổi.

## 8. Kết luận

Điều quan trọng nhất của bài này có thể gói gọn trong mấy ý:

1. **Phép biến đổi tuyến tính** là phép biến đổi tôn trọng phép cộng và phép nhân vô hướng.
2. Nó có thể kéo giãn, chiếu, nghiêng, quay hay phản xạ không gian, nhưng không được làm mất tính tuyến tính.
3. **Ma trận biểu diễn** của một phép biến đổi được tạo bằng cách lấy ảnh của các vectơ cơ sở.
4. **Đổi cơ sở** không làm thay đổi phép biến đổi hình học, nhưng sẽ làm thay đổi ma trận dùng để ghi lại phép biến đổi ấy.

Nếu giữ được trực giác đó, thì về sau khi học kernel, image, trị riêng hay chéo hoá, bạn sẽ thấy tất cả đều đang tiếp tục trả lời cùng một câu hỏi: phép biến đổi này đang làm gì với các hướng cơ bản của không gian?

## Đọc tiếp


- [Cơ sở, độc lập tuyến tính và số chiều của không gian vectơ]({{< relref "basis-and-dimension-of-vector-spaces.md" >}}): để quay về khái niệm nền là cơ sở, tọa độ và đổi cách mô tả một vectơ.
- [Kernel, image và định lý rank-nullity]({{< relref "kernel-image-and-rank-nullity.md" >}}): bài tiếp theo hỏi một phép biến đổi đã làm biến mất những hướng nào và tạo ra được những đầu ra nào.
- [Trị riêng, vector riêng và chéo hoá: đọc cấu trúc của một ánh xạ tuyến tính]({{< relref "matrix-diagonalization.md" >}}): khi đã có ma trận biểu diễn, bước tiếp theo là tìm những hướng riêng mà ánh xạ tự nó thừa nhận.
- [Chéo hoá trực giao: khi ma trận đối xứng để lộ các trục chính]({{< relref "orthogonal-diagonalization.md" >}}): đây là phiên bản đẹp nhất của việc đổi cơ sở để làm ma trận đơn giản đi.