# Trị riêng, vector riêng và chéo hoá: đọc cấu trúc của một ánh xạ tuyến tính


Trong bài [Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sở]({{< relref "linear-transformations-matrix-representation-and-change-of-basis.md" >}}), câu hỏi trung tâm là: **ánh xạ này đang làm gì với không gian?** Nó kéo giãn, nén lại, triệt tiêu, quay, hay làm méo những hướng nào?

Đến đây, ta muốn biết **điều gì sẽ không đổi khi ta thay đổi cơ sở** (và chính vì vậy nên nó là đặc trương nội tại của nó). Đó là lúc ta xét đến **trị riêng**, **vector riêng**, và rộng hơn là **phân tích phổ**.

## 1. Câu hỏi thật sự đằng sau trị riêng và vector riêng

<video controls autoplay loop muted playsinline preload="metadata" style="width:100%; max-width:760px; margin:1rem auto; display:block;">
  <source src="/media/math/linear-algebra/eigenvector-vs-ordinary-point.webm" type="video/webm">
</video>

Trong clip, điểm xanh là một điểm thường nên ảnh của nó đổi hẳn hướng; điểm cam nằm trên một hướng riêng nên sau tác động của $T$ nó vẫn nằm trên cùng một đường thẳng và chỉ bị co giãn.

## 2. Định nghĩa và ý nghĩa hình học

Cho ma trận vuông $A$. Nếu tồn tại một vector khác $0$ sao cho
$$
Av=\lambda v,
$$
thì:

- $\lambda$ được gọi là **trị riêng** của $A$;
- $v$ được gọi là **vector riêng** ứng với trị riêng $\lambda$.

Phương trình này rất đáng nhớ vì nó nói điều sau:

> ánh xạ có thể thay đổi độ lớn của $v$, thậm chí đổi chiều của nó, nhưng không bẻ nó sang một hướng hoàn toàn khác.

Nói cách khác, vector riêng là những hướng mà ánh xạ "thừa nhận" như những hướng cơ bản của chính nó.

Trị riêng $\lambda$ cho biết ánh xạ hành xử thế nào trên hướng ấy:

- $\lambda>1$: kéo giãn;
- $0<\lambda<1$: co lại;
- $\lambda=1$: giữ nguyên độ lớn;
- $\lambda=0$: ép toàn bộ hướng đó về $0$;
- $\lambda<0$: vừa co giãn vừa đổi chiều.

Ngay ở mức này, trị riêng và vector riêng đã cho ta thông tin hình học, chứ chưa cần nói gì đến chéo hoá.

## 3. Ví dụ đơn giản nhất: một ánh xạ đã lộ cấu trúc ngay từ đầu

Xét ma trận chéo
$$
A=
\begin{bmatrix}
3 & 0\\
0 & \frac12
\end{bmatrix}.
$$

Ánh xạ này rất dễ đọc:

- hướng theo trục $x$ bị kéo giãn gấp $3$ lần;
- hướng theo trục $y$ bị co còn một nửa.

Hai vector
$$
e_1=
\begin{bmatrix}
1\\
0
\end{bmatrix},
\qquad
e_2=
\begin{bmatrix}
0\\
1
\end{bmatrix}
$$
là hai vector riêng, với các trị riêng tương ứng là
$$
3 \quad \text{và} \quad \frac12.
$$

Ở đây, phân tích trị riêng gần như trùng với việc "nhìn bằng mắt":

- ta biết ngay ánh xạ ưu tiên những hướng nào;
- ta biết ngay hướng nào lớn dần, hướng nào nhỏ dần;
- và nếu lặp đi lặp lại ánh xạ, thành phần theo $e_1$ sẽ ngày càng trội hơn thành phần theo $e_2$.

Đây là hình mẫu lý tưởng: ánh xạ được tách thành các mode hành vi độc lập.

## 4. Ví dụ thú vị hơn: ma trận trông có vẻ trộn, nhưng bên trong vẫn có các hướng riêng

Xét ma trận
$$
A=
\begin{bmatrix}
4 & 1\\
2 & 3
\end{bmatrix}.
$$

Nhìn trong cơ sở chuẩn, ma trận này có vẻ đang trộn hai tọa độ vào nhau. Nhưng câu hỏi đúng không phải là "nó có trộn hay không", mà là:

> bên trong sự pha trộn đó, có những hướng nào mà ánh xạ vẫn giữ lại?

### 4.1 Tìm trị riêng

Ta giải
$$
\det(A-\lambda I)=0.
$$

Ta có
$$
\det\begin{bmatrix}
4-\lambda & 1\\
2 & 3-\lambda
\end{bmatrix}
=
\lambda^2-7\lambda+10
=(\lambda-5)(\lambda-2).
$$

Vậy hai trị riêng là
$$
\lambda_1=5,\qquad \lambda_2=2.
$$

### 4.2 Tìm các hướng riêng

Với $\lambda=5$, ta giải
$$
(A-5I)x=0
\quad\Longrightarrow\quad
y=x.
$$

Một vector riêng là
$$
v_1=
\begin{bmatrix}
1\\
1
\end{bmatrix}.
$$

Với $\lambda=2$, ta giải
$$
(A-2I)x=0
\quad\Longrightarrow\quad
y=-2x.
$$

Một vector riêng là
$$
v_2=
\begin{bmatrix}
1\\
-2
\end{bmatrix}.
$$

Điều quan trọng ở đây không phải là hai phép giải hệ. Điều quan trọng là ta vừa phát hiện ra:

- theo hướng $v_1$, ánh xạ nhân độ lớn lên $5$ lần;
- theo hướng $v_2$, ánh xạ nhân độ lớn lên $2$ lần.

Vậy dù ma trận nhìn có vẻ pha trộn tọa độ, nó thực ra đang hành xử rất đơn giản trên hai hướng ẩn này.

## 5. Từ trị riêng đến việc hiểu hành vi dài hạn

Giả sử một vector bất kỳ được viết theo hai hướng riêng ấy:
$$
x=c_1v_1+c_2v_2.
$$

Khi đó
$$
Ax=c_1Av_1+c_2Av_2
=5c_1v_1+2c_2v_2.
$$

Lặp thêm một lần nữa:
$$
A^2x=5^2c_1v_1+2^2c_2v_2.
$$

Tổng quát,
$$
A^n x=5^n c_1 v_1 + 2^n c_2 v_2.
$$

Công thức này cho thấy:

- ánh xạ không còn là một hộp đen;
- ta đã tách nó thành hai mode hành vi độc lập;
- sau nhiều lần lặp, thành phần theo $v_1$ sẽ thống trị vì $5^n$ lớn nhanh hơn $2^n$.

Đây chính là thứ khiến phân tích trị riêng mạnh: nó không chỉ cho ta một vài con số, mà cho ta một cách đọc **động lực dài hạn** của ánh xạ.

## 6. Chéo hoá là bước mà phân tích trị riêng trở nên hoàn chỉnh

Nếu một ma trận có đủ nhiều vector riêng độc lập tuyến tính để tạo thành một cơ sở, thì ta gom chúng lại thành các cột của một ma trận $P$:
$$
P=\begin{bmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{bmatrix}.
$$

Khi đó, trong cơ sở mới gồm các vector riêng, ma trận của ánh xạ trở thành
$$
D=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{bmatrix},
$$
và ta có
$$
A=PDP^{-1}.
$$

Đây là ý nghĩa thật của **chéo hoá**:

- $P$ cho biết ta phải đổi sang những hướng nào để đọc ánh xạ;
- $D$ cho biết ánh xạ tác động ra sao trên từng hướng ấy;
- toàn bộ ma trận phức tạp ban đầu được tách thành các mode kéo giãn độc lập.

Nếu muốn nói bằng ngôn ngữ rộng hơn, thì đây là dạng đơn giản nhất của một **phân tích phổ** trong hữu hạn chiều: ta đọc ánh xạ bằng các trị riêng và các vector riêng của nó.

## 7. Không phải ánh xạ nào cũng "chịu lộ bài" hoàn toàn

Chính ở đây, trị riêng và vector riêng trở thành công cụ để hiểu cấu trúc, chứ không chỉ để giải bài.

### 7.1 Một ví dụ có quá ít hướng riêng: phép nghiêng

Xét
$$
S=
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}.
$$

Ma trận này có một trị riêng duy nhất là $\lambda=1$. Giải
$$
(S-I)x=0
$$
ta thu được
$$
y=0.
$$

Vậy mọi vector riêng đều nằm trên trục $x$.

Điều này có nghĩa là gì?

- ánh xạ có một hướng được giữ nguyên;
- nhưng không đủ nhiều hướng riêng để tách toàn bộ phép biến đổi thành các mode độc lập;
- phần "nghiêng" của phép biến đổi vẫn còn dính vào nhau.

Nói cách khác: **thiếu vector riêng cũng là thông tin cấu trúc**. Nó cho biết ánh xạ còn một phần nội tại chưa được bóc tách hết bằng chéo hoá.

### 7.2 Một ví dụ không có hướng riêng thực nào: phép quay $90^\circ$

Xét
$$
R=
\begin{bmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{bmatrix}.
$$

Đây là phép quay mặt phẳng đi $90^\circ$.

Về mặt hình học, không có vector thực khác $0$ nào sau khi quay vẫn nằm trên chính đường thẳng ban đầu của nó. Vì thế, trên $\mathbb{R}^2$, ma trận này **không có vector riêng thực**.

Đây cũng là một kết luận rất giàu ý nghĩa:

- ánh xạ này không giữ lại hướng thực nào cả;
- nó không phải là "kéo giãn theo vài trục ẩn";
- bản chất của nó là quay, chứ không phải co giãn dọc theo các hướng bất biến thực.

Việc không có trị riêng thực không phải là thất bại của phương pháp. Trái lại, nó nói cho ta một điều rất rõ về loại hình học mà ánh xạ đang mang.

## 8. Khi nào phân tích phổ đẹp nhất?

Trường hợp đẹp nhất là **ma trận đối xứng thực**.

Khi đó:

1. mọi trị riêng đều là số thực;
2. các vector riêng ứng với các trị riêng khác nhau luôn trực giao;
3. ta có thể chọn một cơ sở trực chuẩn gồm toàn vector riêng.

Lúc ấy, chéo hoá không chỉ có dạng
$$
A=PDP^{-1},
$$
mà còn đẹp hơn:
$$
A=QDQ^T.
$$

Đó là điều bài sau sẽ khai thác dưới tên **chéo hoá trực giao**. Và đó cũng là bối cảnh chuẩn nhất của cái mà nhiều nơi gọi là **định lí phổ**.

## 9. Nếu muốn "đọc" một ánh xạ tuyến tính bằng trị riêng và vector riêng, hãy hỏi gì?

Khi đứng trước một ma trận hay một ánh xạ tuyến tính, bạn có thể tự hỏi theo thứ tự sau:

1. Có những hướng nào được giữ lại, nghĩa là sau tác động vẫn nằm trên chính đường thẳng của mình?
2. Trên mỗi hướng ấy, ánh xạ đang kéo giãn, co lại, giữ nguyên, triệt tiêu, hay đổi chiều?
3. Nếu lặp lại ánh xạ nhiều lần, thành phần theo hướng nào sẽ thống trị?
4. Ánh xạ có đủ nhiều hướng riêng để tách hoàn toàn thành các mode độc lập không?
5. Nếu không, phần nào của ánh xạ vẫn còn "dính" và chưa chịu tách ra?
6. Nó có phải là ma trận đối xứng hay không, để ta hy vọng một phân tích phổ thật sạch bằng một cơ sở trực chuẩn?

Nếu hỏi được đúng các câu này, thì trị riêng và vector riêng sẽ không còn là một chương kỹ thuật nữa. Chúng trở thành một ngôn ngữ để mô tả đặc trưng của ánh xạ.

## 10. Kết luận

Điều nên giữ lại sau bài này không phải chỉ là công thức
$$
\det(A-\lambda I)=0.
$$

Điều nên giữ lại là trực giác sau:

- **vector riêng** là những hướng mà ánh xạ tự nó thừa nhận;
- **trị riêng** cho biết ánh xạ hành xử thế nào trên từng hướng ấy;
- **chéo hoá** là trường hợp ta gom đủ các hướng riêng để viết lại ánh xạ dưới dạng tách rời;
- **phân tích phổ** là cái nhìn rộng hơn: hiểu một ánh xạ qua các mode riêng, qua tăng trưởng, suy giảm, đổi chiều, thống trị, và những ràng buộc hình học của nó.

Nếu nhìn theo cách đó, thì phân tích trị riêng không còn là một mẹo xử lý ma trận. Nó là một trong những cách sâu nhất để hiểu một ánh xạ tuyến tính đang thực sự làm gì với không gian.

## Đọc tiếp

- [Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sở]({{< relref "linear-transformations-matrix-representation-and-change-of-basis.md" >}}): bài nền cho câu hỏi "ánh xạ đang làm gì với không gian?".
- [Kernel, image và định lý rank-nullity]({{< relref "kernel-image-and-rank-nullity.md" >}}): nhánh song song giúp nhìn ra ánh xạ đã triệt tiêu hay giữ lại những chiều nào.
- [Chéo hoá trực giao: khi ma trận đối xứng để lộ các trục chính]({{< relref "orthogonal-diagonalization.md" >}}): trường hợp đẹp nhất, nơi phân tích phổ gắn với một cơ sở trực chuẩn.