# Kiểm định Ljung-Box


Nhiều mô hình thống kê giả định rằng các sai số hoặc tỷ suất sinh lợi là chuỗi nhiễu trắng (white noise) — nghĩa là không có cấu trúc tự tương quan tuyến tính giữa các thời điểm khác nhau. Để kiểm tra sự tồn tại của tự tương quan trên nhiều độ trễ (lags) cùng một lúc, **kiểm định Ljung-Box** (hay kiểm định Ljung-Box Q) là một phương pháp rất phổ biến.

## Ý tưởng và Công thức

Thay vì kiểm tra từng hệ số tự tương quan $\rho_k$ xem nó có bằng không hay không, Ljung-Box kết hợp tất cả các hệ số tự tương quan từ bậc $1$ đến bậc $m$ để làm một bài kiểm định chung (portmanteau test).

- **Giả thuyết không ($H_0$)**: Dữ liệu không có tự tương quan cho đến bậc $m$ (các $\rho_1 = \rho_2 = \dots = \rho_m = 0$).
- **Giả thuyết thay thế ($H_1$)**: Ít nhất một trong số các hệ số tự tương quan đó khác không.

Thống kê kiểm định $Q$ được tính theo công thức:
$$ Q = n(n+2) \sum_{k=1}^m \frac{\hat{\rho}_k^2}{n - k} $$
Trong đó:
- $n$ là cỡ mẫu (số lượng quan sát).
- $m$ là số lượng độ trễ được kiểm tra.
- $\hat{\rho}_k$ là hệ số tự tương quan mẫu tại độ trễ $k$.

Dưới giả thuyết $H_0$, thống kê $Q$ tuân theo xấp xỉ phân phối Chi-bình phương với $m$ bậc tự do, $\chi^2_{(m)}$. Nếu giá trị $Q$ lớn hơn giá trị tới hạn (hoặc p-value nhỏ hơn $\alpha$), ta bác bỏ $H_0$ và kết luận chuỗi có sự phụ thuộc chuỗi.

## Hai ứng dụng lớn trong Tài chính

Kiểm định Ljung-Box thường được dùng theo hai cách tiếp cận cơ bản trên chuỗi lợi suất:

1. **Trên chuỗi lợi suất thô (Raw Returns): Phát hiện quán tính giá**
   Khi áp dụng trên $r_t$, kiểm định giúp nhận diện tính dễ dự báo tuyến tính của chuỗi (predictability). Nếu bác bỏ $H_0$, chuỗi lợi suất có thể mang cấu trúc tự hồi quy (AR) hoặc trung bình trượt (MA). Trong các thị trường tài chính hiệu quả, chuỗi lợi suất thô thường không hiển thị sự tự tương quan.

2. **Trên chuỗi lợi suất bình phương (Squared Returns): Phát hiện Cụm biến động**
   Mặc dù lợi suất $r_t$ có thể không tương quan, nhưng chuỗi bình phương lợi suất $r_t^2$ hoặc trị tuyệt đối $|r_t|$ thường hiển thị tự tương quan mạnh. Việc bác bỏ $H_0$ khi áp dụng Ljung-Box lên chuỗi $r_t^2$ là một dấu hiệu rõ ràng của hiện tượng {{< gls "cụm biến động" >}} (volatility clustering) — tức là các phiên giao dịch có biến động lớn thường tụ tập lại với nhau, đặc trưng của các hiệu ứng ARCH/GARCH.

## Lựa chọn độ trễ $m$

Kết quả của kiểm định có thể thay đổi tùy thuộc vào việc lựa chọn $m$. Nếu $m$ quá nhỏ, kiểm định có thể bỏ qua các sự tự tương quan bậc cao. Nếu $m$ quá lớn, sức mạnh kiểm định sẽ bị suy yếu (power loss) do việc dàn trải lên quá nhiều bậc trễ không mang thông tin. Trong thực hành chuỗi tài chính, người ta thường kiểm tra tại nhiều mức độ trễ (ví dụ: 5, 10, 15) để có đánh giá tổng thể và vững chắc hơn.