# Kiểm định Shapiro-Wilk


Phân phối chuẩn là nền tảng của nhiều mô hình thống kê và hồi quy tuyến tính. Trước khi áp dụng các phương pháp này, việc kiểm tra xem dữ liệu có vi phạm giả định chuẩn hay không là điều cần thiết. **Kiểm định Shapiro-Wilk** là một trong những công cụ thống kê mạnh mẽ nhất cho mục đích này.

## Giả thuyết của kiểm định

Giống như hầu hết các kiểm định mức độ phù hợp (goodness-of-fit), kiểm định Shapiro-Wilk được thiết lập như sau:
- **Giả thuyết không ($H_0$)**: Mẫu dữ liệu được lấy từ một quần thể có phân phối chuẩn.
- **Giả thuyết thay thế ($H_1$)**: Mẫu dữ liệu không tuân theo phân phối chuẩn.

Nếu giá trị p (p-value) tính toán được nhỏ hơn mức ý nghĩa $\alpha$ (thường là 0.05), ta bác bỏ $H_0$ và kết luận rằng dữ liệu không có phân phối chuẩn. Ngược lại, nếu $p \geq \alpha$, ta không có đủ bằng chứng để bác bỏ $H_0$.

## Thống kê kiểm định $W$

Thống kê $W$ của Shapiro-Wilk được tính bằng cách lập tỷ số giữa hai ước lượng của phương sai: 
1. Ước lượng dựa trên độ dốc của đường hồi quy tuyến tính lý thuyết trong đồ thị Q-Q plot (kỳ vọng của thống kê thứ tự).
2. Ước lượng phương sai mẫu thông thường (tổng bình phương các độ lệch).

$$ W = \frac{\left( \sum_{i=1}^n a_i x_{(i)} \right)^2}{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} $$
Trong đó $x_{(i)}$ là giá trị mẫu sau khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần, và $a_i$ là các hằng số được tính toán từ các ma trận hiệp phương sai của thống kê thứ tự phân phối chuẩn tắc. 
Thống kê $W$ luôn nằm trong khoảng $(0, 1]$. Nếu $W$ càng gần 1, hình dạng dữ liệu mẫu càng gần với phân phối chuẩn. 

## Ưu điểm và Hạn chế

So với các kiểm định khác như Kolmogorov-Smirnov hay Anderson-Darling, Shapiro-Wilk thường cho thấy **sức mạnh kiểm định (power of test) cao hơn** trong việc phát hiện sự sai lệch khỏi phân phối chuẩn, đặc biệt là với các cỡ mẫu từ nhỏ đến trung bình (thường được khuyên dùng cho $N < 5000$).

Tuy nhiên, như mọi kiểm định giả thuyết điểm (point-null hypothesis), Shapiro-Wilk có một giới hạn quan trọng khi làm việc với **cỡ mẫu rất lớn**:
Khi $N$ tiến tới vô hạn, kiểm định trở nên cực kỳ nhạy cảm. Nó có thể bác bỏ giả thuyết $H_0$ dù sự sai lệch của dữ liệu so với phân phối chuẩn là vô cùng nhỏ và hoàn toàn không đáng kể về mặt thực tiễn. 

Vì vậy, kiểm định Shapiro-Wilk không bao giờ "bảo đảm" dữ liệu là chuẩn tuyệt đối; việc không bác bỏ $H_0$ chỉ có nghĩa là sự sai lệch chưa đủ lớn để bị phát hiện với cỡ mẫu hiện tại. Trong phân tích dữ liệu thực tế, người ta thường kết hợp kiểm định này với các công cụ trực quan hóa (như Histogram hay Q-Q plot) để đưa ra phán đoán.