Giới thiệu

Lý thuyết Dây (String Theory) từ lâu đã được xem là một ứng viên hàng đầu cho “Thuyết vạn vật” – tức lý thuyết thống nhất mọi lực và hạt cơ bản trong tự nhiên. Thay vì coi các hạt là những điểm không có kích thước, lý thuyết dây mô hình hóa chúng như các dây một chiều cực nhỏ, dao động ở những tần số khác nhau. Mỗi kiểu dao động của dây tương ứng với một loại hạt cơ bản khác nhau (String theory | symmetry magazine) (String theory | symmetry magazine).

Trong nhiều bài toán giải tích, ta thường quan tâm đến tốc độ tiến về vô cùng (còn gọi là tốc độ tăng trưởng) của các hàm số trên đoạn $[0, +\infty)$. Nó liên quan trực tiếp đến sự hội tụ của dãy hay chuỗi, và đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các định lý quan trọng.

Các hàm thường gặp

Trong bài viết này, ta sẽ so sánh tốc độ tăng trưởng của một số dạng hàm quen thuộc sau:

Các bài toán tối ưu có ràng buộc (Lagrange), ổn định trong hệ động lực (stability in dynamical systems), hình học (geometry), topo (topology), kinh tế (comparative statics), học máy (machine learning), robot (robotics - Kinematics), thuỷ động lực học (Fluid Dynamics) … thường dẫn đến các phương trình nhiều biến kiểu như:

$$ F(x_0, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0. $$

Đôi khi việc tìm nghiệm của phương trình trên là không thể, tốn nhiều tài nguyện hoặc thậm chí là không cần thiết. Thay vào đó, một nhu cầu khác thường phát sinh, đó là lúc ta nghi ngờ rằng có sự phụ thuộc ngầm giữa các biến (có thể chỉ tồn tại trong một phạm vi cục bộ nào đó) và ta muốn xác định điều kiện để biểu diễn một (hoặc một vài biến) biến dưới dạng hàm của các biến còn lại. Nội dung của Định lí hàm ẩn (Implicit Function Theorem) chính là để giải quyết vấn đề này.

Kiểm soát độ dốc của hàm!

Chúng ta thích làm việc với các hàm trơn (smooth functions) vì chúng dễ xử lý hơn. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta không muốn “độ dốc” của hàm trơn có thể thay đổi quá nhanh gây ra những vấn đề không mong muốn. Trường hợp đặc biệt, hàm vẫn liên tục nhưng bị “gãy” ở một số điểm (tức không trơn), và những “điểm gãy” đó có thể xem là điểm có độ dốc thay đổi vô cùng nhanh. Để giúp khảo sát và làm việc được với những hàm như vậy, ta cần một điều kiện mạnh hơn: điều kiện Lipschitz. Một hàm thoả điều kiện Lipschitz còn được gọi là hàm liên tục Lipschitz.

Ý tưởng

Diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vector

$$u = \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix},\qquad v = \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}$$

được minh họa như sau:

Để tính phần diện tích hình bình hành, ta sẽ lấy phần diện tích của hình chữ nhật ngoài cùng trừ cho phần diện tích của 4 tam giác nhỏ (đánh số 1,2,3,4) và 2 hình chữ nhật nhỏ ở 2 góc (đánh số 5, 6). Bằng kiến thức hình học sơ cấp, ta có thể nhanh chóng nhẩm ra kích thước các cạnh của tất cả tam giác và hình chữ nhật đó dựa trên toạ độ của 2 vector $u$ và $v$ như sau:

Ý tưởng

Ý tưởng của tích phân từng phần (integration by parts) bắt nguồn từ đạo hàm của một tích.

Nhắc lại, để tính đạo hàm của một tích hai hàm $u$ và $v$, ta sử dụng phương pháp “chia để trị” như sau

$$(uv)' = u'v+uv',\qquad\qquad(1)$$

hay, ở dạng khác là

$$\dfrac{d}{dx}(uv) = \dfrac{du}{dx}v + u\dfrac{dv}{dx}.\qquad\qquad(2)$$

Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với $dx$, ta được

$$d(uv) = u\,dv + v\,du.\qquad\qquad(3)$$

Lấy tích phân cả hai vế của phương trình (3) theo biến $x$, ta được