Kiểm soát độ dốc của hàm!

Chúng ta thích làm việc với các hàm trơn (smooth functions) vì chúng dễ xử lý hơn. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta không muốn “độ dốc” của hàm trơn có thể thay đổi quá nhanh gây ra những vấn đề không mong muốn. Trường hợp đặc biệt, hàm vẫn liên tục nhưng bị “gãy” ở một số điểm (tức không trơn), và những “điểm gãy” đó có thể xem là điểm có độ dốc thay đổi vô cùng nhanh. Để giúp khảo sát và làm việc được với những hàm như vậy, ta cần một điều kiện mạnh hơn: điều kiện Lipschitz. Một hàm thoả điều kiện Lipschitz còn được gọi là hàm liên tục Lipschitz.

Ý tưởng

Diện tích hình bình hành tạo bởi 2 vector

được minh họa như sau:

Để tính phần diện tích hình bình hành, ta sẽ lấy phần diện tích của hình chữ nhật ngoài cùng trừ cho phần diện tích của 4 tam giác nhỏ (đánh số 1,2,3,4) và 2 hình chữ nhật nhỏ ở 2 góc (đánh số 5, 6). Bằng kiến thức hình học sơ cấp, ta có thể nhanh chóng nhẩm ra kích thước các cạnh của tất cả tam giác và hình chữ nhật đó dựa trên toạ độ của 2 vector $u$ và $v$ như sau:

Ý tưởng

Ý tưởng của tích phân từng phần (integration by parts) bắt nguồn từ đạo hàm của một tích.

Nhắc lại, để tính đạo hàm của một tích hai hàm $u$ và $v$, ta sử dụng phương pháp “chia để trị” như sau

hay, ở dạng khác là

Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với $dx$, ta được

Lấy tích phân cả hai vế của phương trình (3) theo biến $x$, ta được

Bài toán lấy đạo hàm này quá đơn giản với bất cứ ai đã học giải tích. Phần đông bạn đọc có thể nhớ ngay kết quả là $2x$ mà không cần phải suy nghĩ. Tuy nhiên, tại sao đạo hàm của $x^2$ lại là $2x$? Có lẽ không nhiều bạn đọc có thể giải thích rõ ràng lí do tại sao ngay lập tức. Bài viết siêu ngắn này sẽ giúp bạn ôn lại và kết nối các mẩu kiến thức mà chắn hẳn bạn đã học từ trước.

1. Phát xuất của bài toán

Khi cố gắng giải bài toán $\mathbb{X}\beta = \mathbf{y}$ nào đó và nhận ra nó vô nghiệm (tức là dấu “=” không xảy ra với mọi vector $\beta\in\mathbb{R^n}$), ta thường nghĩ đến việc tìm giá trị $\hat\beta$ nào đó sao cho $\mathbb{X}\hat\beta$ “gần” $\mathbf{y}$ nhất có thể. Vì dấu “=” không xảy ra, ta sẽ cần thiết kế một cách đo lường mức độ “gần” giữa $\mathbf{y}$ và $\mathbb{X}\beta,$ tiếp theo là cực tiểu hoá bài toán đo lường đó để tìm ra $\hat\beta$.

Hàm và Phương thức trong Julia

Trong Julia, ta có khái niệm hàm (functions) và phuơng thức (methods). Hàm đơn giản chỉ là 1 cái tên như: push! hay read. Phương thức là định nghĩa cụ thể của một hàm cho các kiểu đối số (types of arguments) nhất định, ví dụ như push!(s::Set, x) hoặc read(io::IO). Đứng từ góc nhìn hướng đối tượng (object-oriented) bạn có thể xem các phương thức như là các thể hiện (instances) của hàm.