Bài này giữ lại đúng đường dây trực giác quen thuộc của ví dụ RGB. Ý tưởng rất đơn giản: nếu muốn mô tả mọi màu trên màn hình, ta cần những “màu gốc” nào, và cần bao nhiêu màu gốc như thế? Đó cũng chính là cách ta nghĩ về cơ sở, độc lập tuyến tính và số chiều trong đại số tuyến tính.

1. Cơ sở là gì? Khi nào $B$ là cơ sở của không gian vectơ $X$?

Hãy bắt đầu bằng hệ màu RGB trên màn hình.

1. Ta đi từ PDE về ODE

Sau khi đi theo đường đặc trưng, PDE trở thành ODE:

trong đó $U(s) = u(s, X(s))$.

Đây là ODE tuyến tính bậc nhất dạng:

2. Đặc điểm của ODE tuyến tính bậc nhất

Một ODE tuyến tính bậc nhất có dạng tổng quát:

Muốn giải loại này, ta dùng nhân tử lấy tích phân (integrating factor).

1. Hội tụ của chuỗi lũy thừa

Chuỗi hình học là chuẩn vàng

hội tụ khi $|r|<1$. $r$ còn được gọi là “tỉ số” (ratio) của chuỗi hình học. Đây thường là tiêu chuẩn cơ bản để so sánh rất nhiều chuỗi khác. Thậm chí, đây cũng là công cụ cốt lõi để so sánh các chuỗi lũy thừa.

Chuỗi lũy thừa và hạng tử điển hình

Vậy nếu $|a_n|^{1/n}$ không vượt quá một giá trị $L$ nào đó, thì chuỗi hội tụ khi $|s| < \frac{1}{L}$. Và $R := \frac{1}{L}$ lúc này chính là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

1. Tại sao người ta thích Định lý Giới hạn Trung tâm (CLT) đến vậy?

Trong thực tế, mỗi loại dữ liệu có thể theo một phân phối khác nhau, khiến việc xây dựng kiểm định hay ước lượng trở nên phức tạp. Vậy làm sao ước lượng và ra quyết định khi không biết rõ phân phối thật sự của dữ liệu?

CLT là lý do giải quyết: “Với cỡ mẫu đủ lớn, phân phối của trung bình mẫu sẽ gần chuẩn, bất kẻ phân phối gốc ra sao” (miễn có kỳ vọng và phương sai hữu hạn).

Vật lý lượng tử (cơ học lượng tử) là một trong những lý thuyết khoa học thành công nhất, nhưng cũng nổi tiếng khó hiểu. Chính sự phản trực giác của nó đã dẫn đến nhiều hiểu lầm phổ biến. Dưới đây, tôi xin liệt kê và phân tích các hiểu lầm thường gặp về vật lý lượng tử, đồng thời giải thích tại sao chúng sai và cách hiểu đúng theo quan điểm vật lý hiện đại.