Khi đọc các nghiên cứu khoa học, ta thường xuyên bắt gặp cụm từ: “Khoảng tin cậy 95% (95% CI) của biến số X là [A, B]”. Đa số mọi người (thậm chí cả một số nhà nghiên cứu) sẽ diễn giải điều này rằng: “Có 95% xác suất để giá trị thực sự nằm trong khoảng [A, B]”.

Đó là một sự hiểu lầm căn bản!

Trong thống kê cổ điển (Frequentist), giá trị trung bình thực sự của quần thể (True Population Mean) là một hằng số cố định. Nó đã nằm ở đó rồi, không hề nhúc nhích hay di chuyển ngẫu nhiên. Nó hoặc là nằm trong khoảng [A, B], hoặc là không. Xác suất lúc này chỉ có thể là 100% hoặc 0%, không có khái niệm 95%.

Nếu Luật Số Lớn cho ta biết rằng trung bình mẫu sẽ hội tụ về trung bình của quần thể, thì Định lý Giới hạn Trung tâm (Central Limit Theorem - CLT) tiến xa hơn một bước vĩ đại: nó cho ta biết hình dáng của sự phân tán xung quanh điểm hội tụ đó.

Sự kỳ diệu của CLT nằm ở chỗ: Không quan trọng quần thể gốc có hình thù kỳ dị đến mức nào (phân phối đều, lệch phải, hay thậm chí đứt gãy thành nhiều đỉnh), khi cỡ mẫu ($N$) đủ lớn, phân phối của trung bình mẫu sẽ luôn mang hình dáng của một quả chuông hoàn hảo (Phân phối chuẩn - Normal Distribution).

Trong mô hình hóa toán sinh (mathematical biology), đặc biệt là động học dược lý (pharmacodynamics) và động học enzyme, Định luật Tác dụng khối lượng (Law of Mass Action) là nền tảng số một để chuyển hóa các hiện tượng tương tác sinh học thành các phương trình vi phân (mathematical models).

Bài viết này sẽ đi từ trực giác cơ bản của định luật này đến việc thiết lập phương trình cho tỷ lệ ức chế trong trạng thái dừng (steady state) – một dạng cấu trúc thường xuyên xuất hiện trong các luận án tại OUCRU.

Giải tích phức là một lĩnh vực có nhiều đặc tính giải tích chặt chẽ. Khác với giải tích thực nơi hàm số có thể gãy góc hoặc chỉ khả vi một lần, trong mặt phẳng phức, chỉ cần một hàm số thỏa mãn điều kiện khả vi tại mọi điểm (giải tích), nó lập tức trở nên trơn tru vô hạn lần và tuân theo các định luật bảo toàn.

Trong bài viết trước về Ngụy biện con bạc, ta đã nhắc đến một kết quả phản trực giác của xác suất: nếu bạn chơi một trò chơi tung đồng xu công bằng, xác suất để bạn gỡ lại toàn bộ số vốn đã thua là 100%, nhưng kỳ vọng thời gian chờ để làm được điều đó lại bằng vô cực.

Đây không phải là một cách nói cường điệu. Nó là hệ quả trực tiếp từ lý thuyết Bước ngẫu nhiên (Random Walk). Bài viết này sẽ đi sâu vào thiết lập toán học chặt chẽ, phát biểu và chứng minh các định lý làm nền tảng cho nghịch lý này.

“Luật Số Lớn không có nghĩa là ‘quy luật bù trừ’ (Gambler’s Fallacy). Nếu bạn vừa tung được 10 lần Ngửa liên tiếp, đồng xu không hề ‘ghi nhớ’ điều đó để tự động ra Sấp ở lần tiếp theo nhằm bù lại. Xác suất lần 11 vẫn y nguyên là 50/50. Sự hội tụ xảy ra đơn giản là vì 10 lần Ngửa ban đầu sẽ bị ‘pha loãng’ và chìm nghỉm trong đại dương của 1.000, 10.000 lần tung tiếp theo…”