Năm 1952, Harry Markowitz xuất bản một bài báo thay đổi hoàn toàn cách thế giới tài chính vận hành, đem về cho ông giải Nobel Kinh tế năm 1990. Lý thuyết đó mang tên Modern Portfolio Theory (MPT) - Lý thuyết Danh mục Đầu tư Hiện đại.

Trước MPT, người ta đầu tư đơn giản bằng cách chọn ra những cổ phiếu có lợi nhuận kỳ vọng cao nhất. Markowitz chỉ ra một sự thật cơ bản nhưng thường bị phớt lờ: “Don’t put all your eggs in one basket” (Đừng bỏ tất cả trứng vào một rổ). Nhưng rổ nào, và bao nhiêu trứng mỗi rổ?

Trong tài chính, định lý Modern Portfolio Theory (Lý thuyết Danh mục Đầu tư Hiện đại) của Harry Markowitz nói rằng: Đừng chỉ nhìn vào rủi ro của từng tài sản đơn lẻ, hãy nhìn vào cách chúng “nhảy múa” cùng nhau.

Giả sử bạn đang xem xét tỷ suất sinh lời hàng ngày của hai tài sản:

• Tài sản X (Ví dụ: Trái phiếu Chính phủ): An toàn, biến động thấp.
• Tài sản Y (Ví dụ: Cổ phiếu Bất động sản): Rủi ro cao, biến động cực mạnh.

Để đo lường rủi ro (sự phân tán), chúng ta dùng Phương sai (Variance) cho từng tài sản. Nhưng để biết chúng đi cùng nhau hay ngược nhau (để đa dạng hoá danh mục), chúng ta cần đến Hiệp phương sai (Covariance) và Tương quan (Correlation).

Trong bài viết trước về Hồi quy tuyến tính, chúng ta dùng một đường thẳng để dự đoán một giá trị liên tục (như giá nhà). Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn dự đoán một biến phân loại? Ví dụ: Dựa vào số giờ ôn thi, liệu học sinh có Đậu (1) hay Rớt (0)?

Nếu chúng ta cố gắng dùng một đường thẳng (Hồi quy tuyến tính) cho bài toán này, kết quả sẽ rất kỳ cục. Đường thẳng có thể trả về các giá trị như $1.5$ (hơn cả mức Đậu) hoặc $-0.3$ (dưới cả mức Rớt). Điều này không có ý nghĩa toán học khi ta muốn một xác suất nằm trong khoảng $[0, 1]$.

Hồi quy tuyến tính (Linear Regression) có lẽ là thuật toán học máy (machine learning) cơ bản và lâu đời nhất. Mặc dù có chữ “machine learning” nghe rất hiện đại, gốc rễ của nó đã được các nhà toán học như Gauss và Legendre tìm ra từ đầu thế kỷ 19.

Khi bạn có một tập hợp các điểm dữ liệu và bạn nhận thấy chúng có vẻ tuân theo một xu hướng tăng hoặc giảm, câu hỏi tự nhiên là: Làm sao để vẽ một đường thẳng đại diện tốt nhất cho xu hướng đó?

Trong thống kê suy diễn, một bài toán cực kỳ phổ biến là kiểm tra xem tỷ lệ xuất hiện của một biến cố trong mẫu quan sát có đi ngược lại so với kỳ vọng ban đầu hay không. Phương pháp Kiểm định tỷ số hợp lý (Likelihood Ratio Test - LR Test) cung cấp một khuôn khổ toán học chặt chẽ để trả lời câu hỏi này.

1. Phát biểu bài toán

Giả sử ta thực hiện $N$ phép thử độc lập (Bernoulli trials). Trong mỗi phép thử, biến cố $A$ có xác suất xảy ra là $p$. Sau $N$ phép thử, ta ghi nhận được $x$ lần biến cố $A$ xảy ra.

Trong quản trị rủi ro tài chính, Value at Risk (VaR) là một con số ước lượng mức tổn thất tối đa có thể xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định, với một độ tin cậy cho trước. Tuy nhiên, làm sao để biết mô hình VaR mà ngân hàng đang sử dụng có thực sự chính xác hay không? Đây là lúc quá trình Backtesting (kiểm định ngược) và đặc biệt là Kiểm định Kupiec POF (Proportion of Failures) phát huy tác dụng.