Nhân tử lấy tích phân - Integrating Factor
1. Ta đi từ PDE về ODE
Sau khi đi theo đường đặc trưng, PDE trở thành ODE:
$$ U'(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))} + \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\, U(s), $$trong đó $U(s) = u(s, X(s))$.
Đây là ODE tuyến tính bậc nhất dạng:
$$ U'(s) - \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\,U(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))}. $$2. Đặc điểm của ODE tuyến tính bậc nhất
Một ODE tuyến tính bậc nhất có dạng tổng quát:
$$ y'(s) + \textcolor{#1E90FF}{a(s)}\,y(s) = \textcolor{#FF1394}{b(s)}. $$Muốn giải loại này, ta dùng nhân tử lấy tích phân (integrating factor).
3. Ý tưởng nhân tử lấy tích phân
Ta muốn “gom” vế trái thành đạo hàm của một tích, ví dụ:
$$ \frac{d}{ds}\big(M(s)\,y(s)\big) = M(s)\,y'(s) + \textcolor{#32CD32}{M'(s)}\,y(s). $$So sánh với $y’(s) + a(s),y(s)$, ta thấy nếu chọn $M(s)$ sao cho:
$$ M'(s) = \textcolor{#1E90FF}{a(s)} M(s), $$tức là
$$ M(s) = \exp\!\Big(\int \textcolor{#1E90FF}{a(s)}\,ds\Big), $$thì đúng là:
$$ M(s)\,y'(s) + M(s)\textcolor{#1E90FF}{a(s)}y(s) = \frac{d}{ds}\big(M(s)\,y(s)\big). $$4. Áp dụng vào ODE của mình
Ở đây:
$$ U'(s) - \textcolor{#1E90FF}{g(s,X(s))}U(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s,X(s))}. $$So sánh với dạng $y’(s)+a(s)y(s)=b(s)$, ta có $a(s) = -g(s,X(s))$.
Vậy nhân tử lấy tích phân là:
$$ M(s) = \exp\!\Big(\int \textcolor{#1E90FF}{-g(s,X(s))}\,ds\Big) = \exp\!\Big(-\int_0^s \textcolor{#1E90FF}{g(\sigma,X(\sigma))}\,d\sigma\Big). $$Nhân cả hai vế ODE với $M(s)$, ta được:
$$ \frac{d}{ds}\Big(M(s)U(s)\Big) = M(s)\,\textcolor{#FF1394}{h(s,X(s))}. $$5. Tích phân và nghiệm
Tích phân từ $0$ đến $t$:
$$ M(t)U(t) - M(0)U(0) = \int_0^t M(s)\,\textcolor{#FF1394}{h(s,X(s))}\,ds. $$Suy ra:
$$ U(t) = U(0)\,\frac{M(0)}{M(t)} + \int_0^t \frac{M(s)}{M(t)}\,\textcolor{#FF1394}{h(s,X(s))}\,ds. $$Thay $U(0)=u_0(X(0))$, rồi viết lại thành công thức nghiệm mà ta có trước đó.
6. Trực giác toán học
Không có gì “ngẫu nhiên”: nhân tử lấy tích phân là một công cụ giải chuẩn cho ODE tuyến tính.
Cách hiểu: ta muốn gom toàn bộ phần tuyến tính $g(s)U(s)$ vào trong một đạo hàm duy nhất để có thể tích phân trực tiếp.
Vật lý thì nói: “hệ số $g$ làm hạt bị khuếch đại hay giảm dần theo thời gian”.
Toán thì nói: “ta nhân với $\exp(-\int g)$ để trung hòa phần nhân tuyến tính, đưa phương trình về dạng tích phân được”.
Nói ngắn gọn: nhân tử lấy tích phân không phải thủ thuật bí ẩn, mà là kết quả tự nhiên khi ta muốn biến ODE tuyến tính bậc nhất thành đạo hàm của một tích, để giải bằng tích phân.