Tính liên tục Lipschitz - điều kiện Lipschitz
Kiểm soát độ dốc của hàm!
Chúng ta thích làm việc với các hàm trơn (smooth functions) vì chúng dễ xử lý hơn. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, ta không muốn “độ dốc” của hàm trơn có thể thay đổi quá nhanh gây ra những vấn đề không mong muốn. Trường hợp đặc biệt, hàm vẫn liên tục nhưng bị “gãy” ở một số điểm (tức không trơn), và những “điểm gãy” đó có thể xem là điểm có độ dốc thay đổi vô cùng nhanh. Để giúp khảo sát và làm việc được với những hàm như vậy, ta cần một điều kiện mạnh hơn: điều kiện Lipschitz. Một hàm thoả điều kiện Lipschitz còn được gọi là hàm liên tục Lipschitz.
Định nghĩa
Một hàm $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ được gọi là liên tục Lipschitz (hay thoả điều kiện Lipschitz) nếu tồn tại số thực $K > 0$ sao cho với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ ta có:
$$ \|f(x_1) - f(x_2)\| \leq K \|x_1 - x_2\| $$Minh hoạ hình học của điều kiện Lipschitz như sau:
Một cách trực quan, một hàm liên tục Lipschitz bị giới hạn về độ dốc (tốc độ thay đổi) bởi một số thực $K$. Giá trị $K$ nhỏ nhất khả dĩ được gọi là hằng số Lipschitz của hàm.
Trong lý thuyết phương trình vi phân, tính liên tục Lipschitz là điều kiện trọng tâm của định lý Picard–Lindelöf, định lý này đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cho bài toán có giá trị ban đầu. Một dạng đặc biệt của tính liên tục Lipschitz, được gọi là phép co (contraction), được sử dụng trong Định lý điểm bất động Banach (Banach fixed-point theorem).