Hội tụ
1. Hội tụ của chuỗi lũy thừa
Chuỗi hình học là chuẩn vàng
$$\sum_{n=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{r}^n$$hội tụ khi $|r|<1$. $r$ còn được gọi là “tỉ số” (ratio) của chuỗi hình học. Đây thường là tiêu chuẩn cơ bản để so sánh rất nhiều chuỗi khác. Thậm chí, đây cũng là công cụ cốt lõi để so sánh các chuỗi lũy thừa.
Chuỗi lũy thừa và hạng tử điển hình
$$\sum_{n=0}^\infty a_n s^n = \sum_{n=0}^\infty a_n (s-0)^n.$$$$|a_n s^n|^{1/n} = |a_n|^{1/n} \cdot |s|.$$$$\sum_{n=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{(|a_n|^{1/n} \cdot |s|)}^n.$$$$|a_n|^{1/n} \cdot |s| < 1.$$$$|s| < \frac{1}{|a_n|^{1/n}}.$$Vậy nếu $|a_n|^{1/n}$ không vượt quá một giá trị $L$ nào đó, thì chuỗi hội tụ khi $|s| < \frac{1}{L}$. Và $R := \frac{1}{L}$ lúc này chính là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Với mục đích đó, một cách tự nhiên, ta sẽ lấy biên trên lớn nhất của $|a_n|^{1/n}$. Tức là:
$$L := \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.$$Và bán kính hội tụ là:
$$R := \frac{1}{L}.$$2. Trực giác về hội tụ điểm và hội tụ đều
🎨 Trực giác về hội tụ điểm và hội tụ đều
Để tiện hình dung, ta hãy xem xét hai loại hội tụ này trên đồ thị của một hàm $f$ với dãy hàm $f_n$ trên một khoảng $[a,b]\in\mathbb{R}$.
Trong hội tụ điểm (pointwise convergence), ứng với mỗi điểm $x$ trên trục hoành, dãy hàm $f_n(x)$có một tốc độ riêng để tiến đến giá trị $f(x)$. Tức là chỗ này thì $f_n(x)$ bám sát $f(x)$ nhanh, chỗ kia thì phải cần thêm nhiều $n$ mới theo kịp. Nhìn tổng thể dãy đồ thị có thể chưa sát hẳn với $f$, dù tại từng điểm riêng lẻ thì vẫn tiến đến.
Ngược lại, trong hội tụ đều (uniform convergence), “cả đường cong” $f_n$ phải dịch sát đường cong $f$ cùng một lúc: không có chuyện chỗ này đã rất gần mà chỗ kia còn xa. Có thể hình dung như đặt một “ống kính” độ dày $\varepsilon$ bao quanh đồ thị của $f$, và một khi $n$ đủ lớn thì toàn bộ đồ thị $f_n$ sẽ nằm gọn trong ống kính đó — nghĩa là nhìn bằng mắt thường, cả đường cong $f_n$ đều “ép sát” vào $f$ đồng bộ.
Ẩn dụ dễ nhớ
Hội tụ điểm: học sinh trong lớp đi về nhà — mỗi đứa về nhà với tốc độ khác nhau, nhưng cuối cùng ai cũng về đến nhà.
Hội tụ đều: cả lớp cùng rời trường một lúc, và tất cả đến nhà gần như cùng thời điểm.
Theo đó, hội tụ đều là “mạnh hơn” hội tụ điểm. Nói cách khác, nếu hàm $f_n$ hội tụ đều đến $f$, thì nó cũng hội tụ điểm đến $f$. Điều ngược lại thì chưa chắc.