Tại sao đạo hàm của $x^2$ là $2x$

Bài toán lấy đạo hàm này quá đơn giản với bất cứ ai đã học giải tích. Phần đông bạn đọc có thể nhớ ngay kết quả là $2x$ mà không cần phải suy nghĩ. Tuy nhiên, tại sao đạo hàm của $x^2$ lại là $2x$? Có lẽ không nhiều bạn đọc có thể giải thích rõ ràng lí do tại sao ngay lập tức. Bài viết siêu ngắn này sẽ giúp bạn ôn lại và kết nối các mẩu kiến thức mà chắn hẳn bạn đã học từ trước.

Bạn từng đọc được trong sách giáo trình định nghĩa đạo hàm như sau

$$f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}.$$$$f(x+h) = (x+h)².$$

Thay vào công thức đạo hàm, ta được

$$ \begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{(x+h)² - x²}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{x² + 2xh + h² - x²}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{2xh + h²}{h} \\ &= \lim_{h\rightarrow 0} (2x + h) \\ &= 2x. \end{align*} $$

Xong!