Mối quan hệ giữa đa thức đối xứng (symmetric polinomial) và nghiệm (root) của phương trình đa thức
Các đa thức đối xứng (symmetric polinomials) đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu mối quan hệ giữa các nghiệm (root) của các phương trình đa thức và các hệ số (coefficient) của chúng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá sâu hơn về mối liên hệ này, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tiễn.
1. Đa thức đối xứng:
Định nghĩa cơ bản
Đa thức đối xứng với các biến $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là một đa thức không thay đổi dưới bất kì phép hoán vị (permutation) nào của các biến. Cụ thể, với bất kì phép hoán vị $\sigma$ nào của các chỉ số ${1, 2, \ldots, n}$:
$$ P(x_1, x_2, \ldots, x_n) = P(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \ldots, x_{\sigma(n)}) $$Điều này có nghĩa là trật tự của các biến không ảnh hưởng đến giá trị của đa thức.
2. Đa thức đối xứng cơ bản
Các đa thức đối xứng cơ bản nhất được gọi là đa thức đối xứng cơ bản (Elementary Symmetric Polynomial), được định nghĩa như sau:
$$ \begin{aligned} e_1 &= x_1 + x_2 + \cdots + x_n \\ e_2 &= \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \\ &\vdots \\ e_n &= x_1 x_2 \cdots x_n \end{aligned} $$Những đa thức này đóng vai trò như các cấu kiện (building block) cho tất cả các đa thức đối xứng khác, theo Định lí Cơ bản về Đa Thức Đối Xứng.
3. Định lí Vieta - kết nối giữa nghiệm và hệ số của phương trình đa thức
Xét một đa thức đơn vị bậc $n$:
$$ P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$Giả sử $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ là các nghiệm của $P(x)$ (bao gồm cả nghiệm lặp lại). Định lí Vieta thiết lập mối quan hệ trực tiếp giữa các hệ số của đa thức và các đa thức đối xứng cơ bản của các nghiệm:
$$ \begin{aligned} e_1 &= \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = -a_{n-1} \\ e_2 &= \sum_{1 \leq i < j \leq n} \alpha_i \alpha_j = a_{n-2} \\ &\vdots \\ e_n &= \alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n = (-1)^n a_0 \end{aligned} $$Điều này cho thấy rằng mỗi hệ số $a_k$, kèm theo dấu $(-1^k)$, một đa thức đối xứng cơ bản của các nghiệm.
4. Định lí cơ bản về đa thức đối xứng
Định lí cơ bản về đa thức đối xứng phát biểu rằng mọi đa thức đối xứng trong $x_1, x_2, \ldots, x_n$ có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức trong các đa thức đối xứng cơ bản $e_1, e_2, \ldots, e_n$.
Ý nghĩa:
- Biểu Diễn Các Hệ Số: Vì các hệ số của đa thức là các hàm đối xứng cơ bản của các nghiệm (theo Vieta), nên bất kì mối quan hệ đối xứng nào giữa các nghiệm đều có thể được viết lại dưới dạng các hệ số.
- Loại Bỏ Các Nghiệm: Các bài toán liên quan đến các mối quan hệ đối xứng giữa các nghiệm thường có thể được giải quyết mà không cần tìm nghiệm cụ thể, bằng cách sử dụng các mối quan hệ thông qua các hệ số.
5. Ứng dụng trong giải phương trình
- Rút gọn phương trình: Các mối quan hệ đối xứng cho phép giảm các phương trình phức tạp liên quan đến nhiều nghiệm xuống dạng đơn giản hơn liên quan đến các hệ số.
- Lí thuyết Galois: Nghiên cứu mở trộng trường (field extension) và tính giải được (solvability) của các đa thức bằng các căn thức (radical) phụ thuộc nhiều vào các đa thức đối xứng và tính bất biến (invariance) của chúng dưới tác động của nhóm Galois (Galois group).
- Lí thuyết Bất biến (Invariant Theory): Các đa thức đối xứng đóng vai trò như các bất biến dưới các nhóm hoán vị, điều này rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học, bao gồm Hình học Đại số (Algebraic Geometry) và Lí thuyết Biểu diễn (Representation Theory).
6. Ví dụ - đa thức bậc 2 và 3
Đa thức bậc 2:
$$ P(x) = x^2 + a_1 x + a_0 $$Nghiệm: $\alpha$ và $\beta$
Theo Vieta:
$$ \alpha + \beta = -a_1 \quad \text{và} \quad \alpha \beta = a_0 $$Ở đây, $e_1 = \alpha + \beta$ và $e_2 = \alpha \beta$.
Đa thức bậc 3:
$$ P(x) = x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $$Nghiệm: $\alpha, \beta, \gamma$
Theo Vieta:
$$ \begin{aligned} \alpha + \beta + \gamma &= -a_2 \\ \alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma &= a_1 \\ \alpha\beta\gamma &= -a_0 \end{aligned} $$Một lần nữa, đây là các đa thức đối xứng cơ bản $e_1, e_2, e_3$.
7. Kết luận
Mối quan hệ giữa các đa thức đối xứng và các nghiệm của phương trình là sâu sắc và thiết yếu trong lí thuyết đa thức. Các đa thức đối xứng không chỉ giúp biểu diễn các mối quan hệ phức tạp giữa các nghiệm dưới dạng các hệ số của đa thức mà còn cung cấp các công cụ mạnh mẽ để phân tích và giải quyết các phương trình đa thức mà không cần phải tìm nghiệm một cách cụ thể. Hiểu rõ mối quan hệ này mở ra nhiều cánh cửa trong các lĩnh vực toán học nâng cao như lí thuyết Galois và lí thuyết bất biến.