Đây chỉ là câu chuyện, cách diễn đạt mà tôi tự kể cho mình nghe, không phải là một bài viết khoa học chính thống. Tôi viết để giúp bản thân dễ nắm bắt, dễ hình dung hơn về một số khái niệm toán học mà tôi quan tâm, và điều bất ngờ là qua đó, tôi cũng có thêm một số hiểu biết sâu sắc về chính những khái niệm đó. Nếu bạn thấy nó hữu ích, tôi cũng xin lấy làm vui lòng. Nếu bạn thấy có gì không đúng, hãy cho tôi biết để tôi có thể sửa chữa. Cảm ơn bạn đã đọc!

Khai triển Taylor (Taylor expansion) là một trong những ý tưởng đẹp nhất của toán học. Ý tưởng đằng sau của nó khá đơn giản: hầu hết các hàm số (giả sử gọi là $f$) đều trơn (smooth) (khả vi vô hạn lần) trên một khoảng $(a,b)$ nào đó, hay $f\in C^\infty(a,b)$. Trong khi đó, ta cũng biết rằng các đa thức (polynomials) cũng trơn (trên toàn bộ $\mathbb{R}$). Vậy nên, với mỗi hàm trơn, ta có thể dùng một đa thức để xấp xỉ (approximate) hàm đó đủ tốt.

Như chúng ta đã thấy trong Ví dụ 3 trong bài blog trước, ta có thể xem một hàm tử (functor) như một mũi tên/cấu xạ giữa hai phạm trù (category).

…mọi phép ẩn dụ (analogy) đủ tốt đều “khao khát” trở thành một hàm tử.

Có thể bạn có cảm giác rằng tiêu đề của bài viết này hơi khoa trương. Đúng là (đối với bạn) có thể có những bí mật toán học khác dễ nhận ra hơn, cơ mà, tôi đã thu hút sự chú ý của bạn, phải không? Tốt. Bởi vì tôi muốn kể cho bạn nghe về một chủ đề quan trọng trong toán học - một câu thần chú toán học, hi vọng bạn sẽ thích. Đây là một kĩ thuật mà các nhà toán học luôn sử dụng để làm toán.

Lí thuyết phạm trù (category theory) nhìn toán học từ trên cao. Từ trên cao, tuy không thể nhìn thấy các chi tiết, nhưng ta có thể nhận ra các mô thức (patterns) mà từ mặt đất không thể phát hiện được.

Thay vì đưa ra một loạt định nghĩa — khá dễ kiếm trên internet nhưng bạn có thể sẽ cảm thấy hơi khó hiểu khi mới tiếp xúc — tôi nghĩ sẽ thú vị hơn nếu chúng ta cùng nhìn nhận lí thuyết phạm trù (category theory) trong bức tranh lớn hơn của toán học. Lí thuyết này khác biệt so với các nhánh toán học khác. Thay vì là một lĩnh vực ngang hàng với các ngành khác, nó giống như một “gen chung” kết nối chúng lại ngay từ gốc rễ.