Chuỗi Taylor - Một cách dễ nhớ
Khai triển Taylor (Taylor expansion) xây dựng một đa thức có các đạo hàm tại điểm $c$ khớp với các đạo hàm tương ứng của hàm $f$. Nếu $f$ có đủ số đạo hàm gần $c$, đa thức Taylor bậc hữu hạn cho một xấp xỉ địa phương với sai số được mô tả bởi số dư Taylor.
Khi lấy vô hạn số hạng, ta thu được chuỗi Taylor, không còn là một đa thức. Chuỗi này chỉ bằng hàm ban đầu tại những điểm mà chuỗi hội tụ đến chính $f$. Điều kiện $f\in C^\infty$ chưa đủ để bảo đảm điều đó; những hàm thỏa tính chất này được gọi là hàm giải tích. Dù không dùng chuỗi vô hạn, đa thức Taylor bậc hữu hạn vẫn hữu ích vì đa thức thường dễ tính toán hơn hàm ban đầu.
Công thức Taylor chỉ ra cách tìm các hệ số từ đạo hàm của $f$ tại $c$. Phần dưới đây giải thích cách suy ra công thức ấy, đồng thời tách rõ đa thức Taylor hữu hạn khỏi câu hỏi hội tụ của chuỗi Taylor vô hạn.
Trong bài viết này, tôi sẽ chia sẻ một mẹo nhỏ giúp tôi tự suy diễn lại công thức Taylor từ đầu mỗi khi cần (tức là tôi cũng chẳng nhớ nổi).
Bắt đầu từ hai bàn tay trắng
Ta bắt đầu bằng một chuỗi lũy thừa ứng viên, kí hiệu $Tf$, và yêu cầu các đạo hàm của nó tại $c$ khớp với các đạo hàm của $f$. Ký hiệu
$$f(x) \sim Tf(x) \qquad\qquad(1)$$ở đây chỉ biểu thị sự tương ứng về các hệ số Taylor; chưa khẳng định hai vế bằng nhau tại mọi $x$.
Do đó, bước đầu tiên, ta viết ra một đa thức bậc $n$ tổng quát như sau:
$$Tf(x) = \textcolor{#FF1394}{a_0}+\textcolor{#FF1394}{a_1}(x-c)+\textcolor{#FF1394}{a_2}(x-c)^2+\textcolor{#FF1394}{a_3}(x-c)^3+\dots\qquad\qquad(2)$$Trong đó $\textcolor{#FF1394}{a_0}, \textcolor{#FF1394}{a_1}, \textcolor{#FF1394}{a_2}, \dots$ là các hệ số (coefficients) của từng hạn tử đa thức, và $c$ là hằng số (constant) ứng với một vị trí nào đó trên trục $x$ mà ta cần xấp xỉ (trường hợp $c = 0$, khai triển Taylor lúc này còn được gọi là khai triển Maclaurin). Dĩ nhiên $c$ phải nằm trong khoảng $(a,b)$. Vế phải của (1) còn được gọi là chuỗi lũy thừa (power series). Ta có thể viết gọn lại thành:
$$Tf(x)=\sum_{j=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{a_j}(x-c)^j\qquad\qquad(3)$$Đến đây, thứ mà ta thấy rắc rối nhất, cũng hay quên nhất chính là các hệ số $\textcolor{#FF1394}{a_0}, \textcolor{#FF1394}{a_1}, \textcolor{#FF1394}{a_2}, \dots$ trong phương trình (equation) (2) đó. Vậy nên, mục tiêu lúc này là tìm ra một công thức khéo léo nào đó để suy ra các hệ số trên thật dễ dàng khi cần.
Giả sử $f$ có các đạo hàm cần thiết tại $c$. Ta chọn các hệ số của $Tf$ sao cho $Tf^{(n)}(c)=f^{(n)}(c)$ với mọi bậc đang xét. Nếu làm việc với một chuỗi lũy thừa hội tụ trong lân cận $c$, ta được phép lấy đạo hàm từng số hạng ở bên trong bán kính hội tụ.
Lấy đạo hàm vế phải của (1), ta được:
$$ \begin{align*} Tf'(x) &= \textcolor{#FF1394}{a_1}+2\textcolor{#FF1394}{a_2}(x-c)+3\textcolor{#FF1394}{a_3}(x-c)^2+4\textcolor{#FF1394}{a_4}(x-c)^3+\dots\\ Tf''(x) &= 2\textcolor{#FF1394}{a_2}+6\textcolor{#FF1394}{a_3}(x-c)+12\textcolor{#FF1394}{a_4}(x-c)^2+20\textcolor{#FF1394}{a_5}(x-c)^3+\dots\\ Tf'''(x) &= 6\textcolor{#FF1394}{a_3}+24\textcolor{#FF1394}{a_4}(x-c)+60\textcolor{#FF1394}{a_5}(x-c)^2+120\textcolor{#FF1394}{a_6}(x-c)^3+\dots\\ \vdots \end{align*} $$Nếu tinh ý, ta sẽ nhận ra rằng khi tính tại $x = c$ (bao gồm cả $Tf(x)$), hầu hết các hạng tử sẽ về 0, chỉ để lại các hệ số $\textcolor{#FF1394}{a_0}, \textcolor{#FF1394}{a_1}, \textcolor{#FF1394}{a_2}, \dots$ nhân với một hằng số. Tức là:
$$ \begin{align*} Tf(c) &= \textcolor{#FF1394}{a_0}\\ Tf'(c) &= \textcolor{#FF1394}{a_1}\\ Tf''(c) &= 2\textcolor{#FF1394}{a_2}\\ Tf'''(c) &= 6\textcolor{#FF1394}{a_3}\\ \vdots \end{align*} $$Các hằng số đó bằng giai thừa của bậc đạo hàm. Tức là
$$ \begin{align*} Tf(c) &= 1*\textcolor{#FF1394}{a_0} &= 0! &* \textcolor{#FF1394}{a_0}\\ Tf'(c) &= 1*\textcolor{#FF1394}{a_1} &= 1! &* \textcolor{#FF1394}{a_1}\\ Tf''(c) &= 2*\textcolor{#FF1394}{a_2} &= 2! &* \textcolor{#FF1394}{a_2}\\ Tf'''(c) &= 6*\textcolor{#FF1394}{a_3} &= 3! &* \textcolor{#FF1394}{a_3}\\ \vdots \end{align*} $$Tổng quát hoá lên, ta được:
$$Tf^{(n)}(c) = n! * \textcolor{#FF1394}{a_n}.$$Theo điều kiện khớp đạo hàm đã đặt ra, $Tf^{(n)}(c)=f^{(n)}(c)$, vậy nên
$$f^{(n)}(c) = n! * \textcolor{#FF1394}{a_n}.$$Giờ đây, ta có một hệ phương trình đơn giản có thể giải cho các hệ số $\textcolor{#FF1394}{a_0}, \textcolor{#FF1394}{a_1}, \textcolor{#FF1394}{a_2}, \dots$. Chỉ cần chia cả hai vế cho $n!.$ Điều này dẫn đến kết quả sau:
$$ \begin{align*} \textcolor{#FF1394}{a_0} &= \frac{f(c)}{0!}\\ \textcolor{#FF1394}{a_1} &= \frac{f'(c)}{1!}\\ \textcolor{#FF1394}{a_2} &= \frac{f''(c)}{2!}\\ \textcolor{#FF1394}{a_3} &= \frac{f'''(c)}{3!}\\ \vdots \end{align*} $$Quy luật ở đây khá đẹp. Hệ số bậc $n$ chỉ đơn giản là đạo hàm bậc $n$ của hàm ban đầu, tính tại $c$, rồi chia cho $n!.$ Giờ chúng ta đã có các hệ số cần thiết. Bước tiếp theo là thay chúng vào biểu thức tổng quát (2) như sau:
$$ \begin{aligned} Tf(x) &= \textcolor{#FF1394}{a_0} + \textcolor{#FF1394}{a_1}(x-c) + \textcolor{#FF1394}{a_2}(x-c)^2 + \textcolor{#FF1394}{a_3}(x-c)^3 + \dots\\ &= \textcolor{#FF1394}{\frac{f(c)}{0!}}+\textcolor{#FF1394}{\frac{f'(c)}{1!}}(x-c)+\textcolor{#FF1394}{\frac{f''(c)}{2!}}(x-c)^2+\textcolor{#FF1394}{\frac{f'''(c)}{3!}}(x-c)^3+\dots \end{aligned} $$Đây là các hệ số của đa thức hoặc chuỗi Taylor. Với đa thức bậc $n$, chất lượng xấp xỉ được kiểm soát bởi số dư Taylor dưới các giả thiết thích hợp. Việc tăng bậc không bảo đảm xấp xỉ tốt hơn tại mọi điểm; điều đó còn phụ thuộc vào hàm, điểm khai triển và miền đang xét.
Kết quả: Công thức Taylor
Bước cuối cùng là viết chuỗi Taylor gắn với $f$ tại $c$ dưới dạng tổng:
$$ Tf(x) = \sum_{j=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{\frac{f^{(j)}(c)}{j!}}(x-c)^j $$Chỉ khi số dư tiến về $0$ tại $x$ đang xét — chẳng hạn khi $f$ giải tích trong một lân cận phù hợp của $c$ — ta mới có thể thay $Tf(x)$ bằng $f(x)$ trong công thức trên.
Bài học chính là hiểu điều kiện khớp đạo hàm tạo ra các hệ số $f^{(j)}(c)/j!$. Cách suy luận này giúp nhớ công thức, còn việc chuỗi có hội tụ đến $f$ hay không là một câu hỏi riêng cần được kiểm tra.