Hai số nguyên tố cùng nhau: Chiều đảo Bổ đề Bézout và Tính đối xứng của hệ số
Trong bài viết Thuật toán Euclid mở rộng và Bổ đề Bézout, chúng ta đã biết rằng nếu $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($\gcd(a, b) = 1$), thì luôn tồn tại hai số nguyên $r$ và $s$ sao cho:
$$ar + bs = 1.$$Bài viết này giải quyết hai bài toán cơ bản nhưng rất đẹp:
- Chiều đảo của Bổ đề Bézout: Nếu tìm được một tổ hợp tuyến tính bằng $1$, liệu có chắc chắn hai số ban đầu nguyên tố cùng nhau?
- Tính đối xứng của các hệ số: Trong đẳng thức $ar + bs = 1$, mối quan hệ về ước chung giữa các cặp $(a, s)$, $(r, b)$ và $(r, s)$ là gì?
Đề bài
Cho $a$ và $b$ là các số nguyên khác $0$.
- Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $r$ và $s$ sao cho $ar + bs = 1$, thì $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau (tức là $\gcd(a, b) = 1$).
- Giả sử $\gcd(a, b) = 1$ và $ar + bs = 1$ với $r, s \in \mathbb{Z}$. Chứng minh rằng: $$\gcd(a, s) = \gcd(r, b) = \gcd(r, s) = 1.$$
Lời giải chi tiết
1. Câu 1: Chiều đảo của Bổ đề Bézout cho hai số nguyên tố cùng nhau
$$d \mid a \quad \text{và} \quad d \mid b.$$$$d \mid (ar + bs).$$$$d \mid 1.$$$$d = 1.$$Vậy $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau ($\gcd(a, b) = 1$). $\blacksquare$
$$\gcd(a, b) = 1 \iff \exists r, s \in \mathbb{Z}: ar + bs = 1.$$Lưu ý quan trọng: Tính chất này chỉ đúng khi vế phải bằng $1$. Nếu $ar + bs = c > 1$, ta chỉ có thể kết luận $\gcd(a, b) \mid c$ chứ không thể suy ra $\gcd(a, b) = c$. Ví dụ: $2 \cdot 4 + (-1) \cdot 6 = 2$, nhưng $\gcd(4, 6) = 2$; trong khi $1 \cdot 6 + 1 \cdot 4 = 10$, nhưng $\gcd(4, 6) = 2 \neq 10$.
2. Câu 2: Tính đối xứng của đẳng thức $ar + bs = 1$
Đẳng thức $ar + bs = 1$ liên kết bốn số nguyên $a, r, b, s$.
Từ kết quả ở Câu 1, ta có một tiêu chuẩn rất mạnh: Cứ hai số nguyên bất kỳ lập được một tổ hợp tuyến tính nguyên bằng $1$ thì hai số đó nguyên tố cùng nhau.
Nhờ tính chất giao hoán của phép nhân và phép cộng, ta có thể đổi vai trò giữa “số cơ sở” và “hệ số” để áp dụng trực tiếp kết quả Câu 1 cho 3 cặp còn lại:
a) Cặp $(a, s)$:
$$a \cdot (r) + s \cdot (b) = 1.$$$$\gcd(a, s) = 1.$$b) Cặp $(r, b)$:
$$r \cdot (a) + b \cdot (s) = 1.$$$$\gcd(r, b) = 1.$$c) Cặp $(r, s)$:
$$r \cdot (a) + s \cdot (b) = 1.$$$$\gcd(r, s) = 1.$$$$\gcd(a, s) = \gcd(r, b) = \gcd(r, s) = 1. \quad \blacksquare$$Ví dụ số học minh họa
Trong bài viết Thuật toán Euclid mở rộng, với cặp số $a = 14$ và $b = 39$, chúng ta đã tính được cặp hệ số Bézout $(r, s) = (14, -5)$ thỏa mãn:
$$14 \cdot (14) + (-5) \cdot (39) = 1.$$Ở đây: $a = 14, \quad b = 39, \quad r = 14, \quad s = -5$.
Kiểm tra trực tiếp các cặp theo định lý trên:
- $\gcd(a, b) = \gcd(14, 39) = 1$
- $\gcd(a, s) = \gcd(14, -5) = 1$
- $\gcd(r, b) = \gcd(14, 39) = 1$
- $\gcd(r, s) = \gcd(14, -5) = 1$
Mọi cặp chéo và cặp hệ số đều đôi một nguyên tố cùng nhau.
Mối liên hệ với Lý thuyết Vành và Mạng lưới (Lattice)
Kết quả trên phản ánh sự đối xứng tự nhiên khi nhìn qua lăng kính của Vành I-đê-an chính (PID):
- Trong vành số nguyên $\mathbb{Z}$, hai phần tử nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi i-đê-an sinh bởi chúng chính là toàn bộ vành: $$\gcd(x, y) = 1 \iff \langle x, y \rangle = \mathbb{Z} \iff 1 \in \langle x, y \rangle.$$
- Đẳng thức $ar + bs = 1$ xác nhận rằng phần tử đơn vị $1$ nằm trong cả 4 i-đê-an: $$\langle a, b \rangle = \langle a, s \rangle = \langle r, b \rangle = \langle r, s \rangle = \mathbb{Z}.$$
- Do đó, cả 4 mạng lưới tương ứng đều phủ kín toàn bộ trục số nguyên $\mathbb{Z}$ với mắt lưới cơ sở có độ dài bằng $1$.
Xem thêm các bài viết liên quan
- 🗺️ Bản đồ chuỗi bài viết Đại số: Từ Thứ tự tốt đến Bổ đề Bézout và Vành PID: Tổng quan lộ trình và mối liên hệ giữa các bài viết trong chuỗi.
- Bổ đề Euclid: Cầu nối giữa Bổ đề Bézout và Tính duy nhất của Phân tích Nguyên tố: Ứng dụng trực tiếp của đặc trưng $ar + bs = 1$ để chứng minh nếu $a \mid bc$ thì $a \mid c$.
- Thuật toán Euclid mở rộng và Bổ đề Bézout: Bảng chia 4 cột ($b, a, r, q$) và phương pháp thế ngược tìm cặp hệ số Bézout.
- Bổ đề Bézout dưới góc nhìn Hình học Mạng lưới và Vành I-đê-an chính (PID): Mô hình hóa bước nhảy trên trục số và cấu trúc PID của vành số nguyên.
- Nguyên lý thứ tự tốt và phép chứng minh Quy nạp Toán học: Cơ sở xác lập phần tử đáy cực tiểu của các tập con số tự nhiên.