Vi phôi - 微胚 (Diffeomorphism)
Đây chỉ là câu chuyện, cách diễn đạt mà tôi tự kể cho mình nghe, không phải là một bài viết khoa học chính thống. Tôi viết để giúp bản thân dễ nắm bắt, dễ hình dung hơn về một số khái niệm toán học mà tôi quan tâm, và điều bất ngờ là qua đó, tôi cũng có thêm một số hiểu biết sâu sắc về chính những khái niệm đó. Nếu bạn thấy nó hữu ích, tôi cũng xin lấy làm vui lòng. Nếu bạn thấy có gì không đúng, hãy cho tôi biết để tôi có thể sửa chữa. Cảm ơn bạn đã đọc!
Những đường cong, bề mặt cong
Từ lâu, con người chúng ta bị thu hút bởi những hình dạng và cấu trúc mà ta thấy trong tự nhiên. Các con sông uốn quanh thung lũng, lá cây cong mềm mại, và quỹ đạo các hành tinh uốn lượn trong không gian. Những hình dạng này không “cứng nhắc”, nó khá mượt mà, trơn tru và hay thay đổi, tuy nhiên, phần lớn các thay đổi vẫn giữ nguyên vẻ mượt mà của nó. Tính mượt mà đó, trong toán, người ta gọi là tính “trơn” (smooth). Một hình dạng không có nếp gấp hoặc không có vết cắt sắc nét thì được coi là trơn trong toán học.
So sánh những hình dạng trơn
Hãy nghĩ đến một quả bóng bầu dục. Nếu bạn xoay nó, phản chiếu qua gương, hoặc di chuyển nó một khoảng nhất định, bạn vẫn sẽ có một quả bóng bầu dục. Rõ ràng, những sự biến đổi này có thể tạo ra một chút khác biệt về góc nhìn, hướng, hoặc vị trí, nhưng những khác biệt nhỏ này thường không được chú ý và ta vẫn coi đó là cùng một quả bóng bầu dục, đúng không?
Những biến đổi này được thực hiện thông qua các phép biến đổi Euclid cơ bản như phép xoay, phép đối xứng, và phép tịnh tiến.
Nếu bạn xì bớt hơi (hoặc bơm thêm) chút xíu, quả bóng vẫn là hình bầu dục, nhưng với kích cỡ khác. Một lần nữa, nếu không chú ý đến kích thước, ta vẫn coi đó là cùng một hình dạng, đúng không?
Nhưng nếu bạn bóp hoặc kéo dãn nó, quả bóng sẽ biến đổi, tạo ra nhiều hình dạng khác nhau. Vậy điểm chung giữa những hình dạng này là gì? Đó là, bạn vẫn có thể đưa nó trở về hình bầu dục ban đầu nếu ngừng bóp hay kéo dãn nó.
Khái niệm vi phôi
Những câu hỏi này dẫn đến khái niệm vi phôi (diffeomorphism). Hãy tưởng tượng hai bề mặt, như tấm cao su và tấm cao su khác đã được kéo dãn thành hình dạng khác. Một vi phôi là một loại “biến đổi trơn (tru)” giữa hai hình dạng này (tức là một cách kéo dãn hoặc uốn cong hình này thành hình kia mà không làm rách, không xé hay tạo ra nếp gấp). Hiểu nôm na là: “Hai hình này nhìn có vẻ khác nhau, nhưng có một cách để biến đổi cái này thành cái kia mà vẫn bảo toán đặc tính trơn của mỗi hình, nên về cơ bản chúng giống nhau.”
Chuyển sang ngôn ngữ toán học, cái cách biến đổi trơn (tru) qua lại giữa 2 hình đó được gọi là vi phôi. Nếu đặt tên cho cách biến đổi đó là $f,$ thì vi phôi giữa hai hình dạng $U \subset \mathbb{R}^n$ và $V \subset \mathbb{R}^m$ là
- một hàm $f: U \to V$ (biến đổi),
- $f$ là song ánh (qua lại),
- tồn tại $f,f^{-1}\in C^k$ (trơn).
Thực ra, một khi đã gọi là biến đổi trơn thì $f\in C^\infty$. Nhưng vì một số lí do, người ta thường chỉ cần $f\in C^k, k\geq 1$.
Mục đích của chúng ta hiện tại là tìm hiểu về vi phôi, một cách biến đổi trơn giữa hai hình dạng mà ta có thể nhìn thấy và hình dung được. Người làm toán sẽ thích tổng quát hoá vấn đề, và dĩ nhiên ta có thể tổng quát cho một hình dạng rất rất lớn và trong những không gian có số chiều rất rất rất rất lớn. Nhưng sẽ không có ý nghĩa gì nếu $U$ hay $V$ là các hình lớn vô hạn hoặc có vô hạn chiều! (Hoặc giả như bạn ôm mộng mở rộng đến như vậy, có lẽ đó sẽ là một lĩnh vực toán học khác, không phải là vi phôi mà mà tôi đang nói đến.)
Một cách chặt chẽ, để đảm bảo $U,V$ là các hình dạng
- hữu hạn,
- có số chiều hữu hạn,
- không có nếp gấp,
- không có vết cắt rõ nét,
toán học đưa ra khái niệm đa tạp trơn (smooth manifold)) hay đa tạp khả vi (differentiable manifold). $U,V$ phải là các đa tạp trơn.
Nói cách khác, vi phôi là một hàm song ánh mà khi áp dụng lên một hình dạng trơn (hữu hạn, hữu hạn chiều), nó sẽ biến đổi (theo từng điểm) và tạo ra một hình dạng trơn (hữu hạn, hữu hạn chiều) khác.
Vi phôi giúp các nhà toán học phân loại các hình dạng dựa trên các tính chất trơn, thay vì dựa vào các phép đo cố định. Hai hình dạng có thể khác nhau về góc, vị trí, phương hướng, kích thước hoặc độ cong, nhưng nếu chúng có thể biến đổi trơn thành nhau thì sẽ được coi là tương đương về bản chất.
Mở rộng
Đồng Phôi (Homeomorphism): Khái quát hóa vi phôi, đồng phôi cho phép hai hình dạng “tương đương về mặt topo” khi có thể biến đổi mà không cần xé hoặc dán lại. Ví dụ, cốc cà phê và bánh donut là đồng phôi vì chúng đều có một lỗ.
Đa Tạp (Manifold): Vi phôi làm nền tảng cho nghiên cứu đa tạp - những không gian phức tạp và đa dạng, nhưng nó trông giống không gian Euclid ở phạm vi cục bộ.