Tính liên tục Lipschitz - điều kiện Lipschitz
Kiểm soát độ dốc của hàm!
Điều kiện Lipschitz khống chế tốc độ thay đổi của hàm bằng một hằng số toàn cục: độ chênh của giá trị hàm không được lớn hơn một bội cố định của độ chênh đầu vào. Hàm Lipschitz không nhất thiết trơn; chẳng hạn $f(x)=|x|$ có một điểm không khả vi tại $0$ nhưng vẫn là Lipschitz. Vì vậy, điều kiện này không nói rằng “độ dốc thay đổi chậm”, mà nói rằng các hệ số góc dây cung được chặn đều. Một hàm thỏa điều kiện này được gọi là liên tục Lipschitz.
Định nghĩa
Một hàm $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ được gọi là liên tục Lipschitz (hay thoả điều kiện Lipschitz) nếu tồn tại số thực $K > 0$ sao cho với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}^n$ ta có:
$$ \|f(x_1) - f(x_2)\| \leq K \|x_1 - x_2\| $$Minh hoạ hình học của điều kiện Lipschitz như sau:
Một cách trực quan, một hàm liên tục Lipschitz bị giới hạn về độ dốc (tốc độ thay đổi) bởi một số thực $K$. Giá trị $K$ nhỏ nhất khả dĩ được gọi là hằng số Lipschitz của hàm.
Trong định lý Picard–Lindelöf, tính liên tục theo biến thời gian cùng điều kiện Lipschitz cục bộ theo biến trạng thái là các giả thiết đủ cho sự tồn tại và duy nhất cục bộ của nghiệm bài toán giá trị ban đầu. Một ánh xạ Lipschitz với hằng số nhỏ hơn $1$ được gọi là phép co (contraction) và xuất hiện trong Định lý điểm bất động Banach.