Kernel, image và định lý rank-nullity
Khi một phép biến đổi tuyến tính tác động lên không gian, có hai câu hỏi tự nhiên xuất hiện:
- Có những vectơ nào bị biến thành $0$?
- Có những vectơ nào ở đầu ra mà ta thực sự chạm tới được?
Hai câu hỏi này dẫn đến hai khái niệm trung tâm: kernel và image. Chúng là cách ngắn gọn nhất để mô tả một phép biến đổi tuyến tính đã “làm mất” cái gì và “giữ lại” cái gì.
1. Trực giác đầu tiên: cái gì biến mất, cái gì còn nhìn thấy?
Hãy tưởng tượng bạn chiếu một vật thể ba chiều xuống bức tường bằng một nguồn sáng đặt rất xa.
- Có những thay đổi của vật theo chiều sâu mà bức tường hoàn toàn không nhìn thấy.
- Nhưng có những vị trí trên bức tường mà ánh sáng thực sự chiếu tới được.
Trong ví dụ này:
- phần chuyển động “vô hình” tương ứng với kernel;
- bức tranh thực sự hiện ra trên tường tương ứng với image.
Đây là trực giác tốt nhất để nhớ hai khái niệm này.
2. Kernel là gì?
$$ T:V\to W. $$$$ \ker(T)=\{v\in V:\;T(v)=0\}. $$Hiểu bằng lời:
kernel là tập những hướng mà phép biến đổi “không nhìn thấy”.
Nếu một vectơ nằm trong kernel, thì sau khi qua phép biến đổi, nó biến mất hoàn toàn.
3. Image là gì?
$$ \operatorname{Im}(T)=\{T(v):\;v\in V\}. $$Hiểu bằng lời:
image là toàn bộ vùng mà phép biến đổi thực sự chạm tới được ở đầu ra.
Nếu một vectơ ở không gian đích không nằm trong image, thì không có đầu vào nào sinh ra nó.
4. Ví dụ đầu tiên: phép chiếu xuống mặt phẳng
$$ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(x,y). $$Phép biến đổi này bỏ hẳn tọa độ $z$, tức là chiếu không gian ba chiều xuống mặt phẳng $xy$.
4.1 Tìm kernel
$$ T(x,y,z)=(0,0). $$$$ (x,y)=(0,0), $$$$ x=0,\qquad y=0. $$- Không có điều kiện nào đặt lên $z$, vì tọa độ $z$ bị bỏ qua ngay từ đầu. Vậy
- $$
- \ker(T)=\left{
- \begin{bmatrix}
- 0\
- 0\
- z
- \end{bmatrix}
- z\in\mathbb{R} \right}. $$
Đây chính là trục $z$.
Ý nghĩa hình học rất rõ: thay đổi theo chiều sâu không xuất hiện ở đầu ra, nên toàn bộ trục $z$ nằm trong kernel.
4.2 Tìm image
$$ T(a,b,0)=(a,b), $$$$ \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. $$Phép chiếu này mất một chiều, nhưng vẫn phủ kín toàn bộ mặt phẳng đích.
5. Ví dụ thứ hai: image không phải lúc nào cũng là toàn bộ không gian đích
$$ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(x+y,\;2x+2y). $$$$ (a,2a). $$$$ \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}. $$$$ \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix} \right\}. $$Image ở đây chỉ là một đường thẳng trong $\mathbb{R}^2$, chứ không phải toàn bộ $\mathbb{R}^2$.
5.1 Kernel trong ví dụ này
$$ T(x,y,z)=(0,0). $$$$ x+y=0. $$$$ y=-x, $$$$ \ker(T)=\left\{ \begin{bmatrix} x\\ -x\\ z \end{bmatrix} :x,z\in\mathbb{R} \right\}. $$Kernel ở đây là một mặt phẳng hai chiều.
Đây là một ví dụ rất đáng nhớ:
- đầu vào có $3$ chiều;
- image chỉ có $1$ chiều;
- kernel có $2$ chiều.
6. Vì sao kernel và image đều là không gian con?
Đây là một tính chất nền tảng.
6.1 Kernel là không gian con
$$ T(u)=0,\qquad T(v)=0. $$$$ T(u+v)=T(u)+T(v)=0+0=0, $$nên $u+v\in\ker(T)$.
$$ T(\lambda u)=\lambda T(u)=\lambda\cdot 0=0, $$nên $\lambda u\in\ker(T)$.
Vì vậy kernel là một không gian con của miền xác định.
6.2 Image là không gian con
$$ w_1=T(u_1),\qquad w_2=T(u_2). $$$$ w_1+w_2=T(u_1)+T(u_2)=T(u_1+u_2)\in\operatorname{Im}(T). $$$$ \lambda w_1=\lambda T(u_1)=T(\lambda u_1)\in\operatorname{Im}(T). $$Vì vậy image là một không gian con của không gian đích.
7. Định lý hạng-không gian-kernel
Đây là định lý trung tâm của bài.
$$ \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V). $$Định lý này thường được gọi là định lý rank-nullity.
Trong đó:
- $\dim(\ker(T))$ được gọi là nullity;
- $\dim(\operatorname{Im}(T))$ được gọi là rank.
7.1 Ý nghĩa trực giác
Mỗi chiều của không gian đầu vào chỉ có thể đi về một trong hai số phận:
- hoặc nó bị “nuốt” vào kernel;
- hoặc nó góp phần tạo ra image.
Vì vậy, tổng số chiều bị mất và số chiều còn nhìn thấy được phải đúng bằng tổng số chiều ban đầu.
Đây là lý do định lý này đẹp: nó nói rằng không có chiều nào “biến mất không dấu vết”.
8. Ví dụ đầy đủ về định lý rank-nullity
$$ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\qquad T(x,y,z)=(2x+y-z,\;y+2z). $$Ta sẽ tìm kernel, image và kiểm tra định lý rank-nullity.
8.1 Tìm kernel
$$ T(x,y,z)=(0,0), $$$$ \begin{cases} 2x+y-z=0,\\ y+2z=0. \end{cases} $$$$ y=-2z. $$$$ 2x-2z-z=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-3z=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3}{2}z. $$$$ x=3t,\qquad y=-4t,\qquad z=2t. $$$$ \ker(T)=\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 3\\ -4\\ 2 \end{bmatrix} \right\}, $$$$ \dim(\ker(T))=1. $$8.2 Tìm image
$$ A= \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}. $$$$ \operatorname{rank}(A)=2. $$$$ \dim(\operatorname{Im}(T))=2. $$$$ \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. $$8.3 Kiểm tra định lý
$$ \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)) =1+2=3 =\dim(\mathbb{R}^3). $$Định lý được kiểm chứng đúng trong ví dụ này.
9. Cách tính kernel và image bằng ma trận
Khi $T$ được biểu diễn bởi ma trận $A$, ta có thể tính hai đối tượng này rất cơ học.
9.1 Kernel
$$ Ax=0. $$Không gian nghiệm của hệ này chính là kernel.
9.2 Image
$$ \operatorname{Im}(T)=\operatorname{Col}(A). $$Để tìm một cơ sở của image, ta khử Gauss và lấy các cột trụ của ma trận gốc.
9.3 Rank
Số cột trụ chính là rank của ma trận, cũng là số chiều của image.
Vì vậy:
- kernel đến từ nghiệm của $Ax=0$;
- image đến từ không gian cột của $A$;
- rank là số chiều của image.
10. Kết luận
Kernel và image là hai cách nhìn bổ sung cho nhau:
- kernel cho biết cái gì bị triệt tiêu;
- image cho biết cái gì thực sự xuất hiện ở đầu ra.
Nếu nhớ được ý tưởng “chiều nào bị mất, chiều nào còn nhìn thấy”, thì cả bài này sẽ trở nên rất tự nhiên. Và đó cũng là nền để học tiếp những chủ đề sâu hơn như chéo hoá, trị riêng và phân tích trực giao.
Đọc tiếp
- Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sở: vì kernel và image chỉ thật sự xuất hiện sau khi ta hiểu một phép biến đổi tuyến tính là gì.
- Định lí cơ bản của đại số tuyến tính: bài này đặt kernel và image vào bức tranh rộng hơn gồm không gian hàng, không gian cột và các quan hệ trực giao.
- Trị riêng, vector riêng và chéo hoá: đọc cấu trúc của một ánh xạ tuyến tính: khi hiểu một phép biến đổi đã giết hay giữ các hướng nào, bước tiếp theo là tìm những hướng riêng mà nó còn giữ lại như cấu trúc nội tại.