Trực giác hình học của định thức
Ê mày, học tới đâu rồi, bữa nay thấy trầm tư dữ ha?
Dạ con đang học cái định thức, mà càng học càng lú ông ơi 😵 Cái gì mà hoán vị, đổi dấu, cộng trừ rối não vậy?
Trời đất... tới định thức mà cũng làm mày bối rối hả? Nghe ông nói nè. Thiên hạ không ai biết chính xác định thức xuất phát từ đâu đâu. Lịch sử nó mù mờ như khói nhang, lúc thì Trung Quốc cổ, lúc thì châu Âu. Nhưng mà giờ may mắn nha, có ông – siêu cấp bro trùm sò đại số – kể lại cho nghe theo kiểu hiện đại, hiểu liền luôn!
Dạ ông kể đi, chứ con học toán mà thấy như đang lạc trong rừng mưa Amazon á 😵💫
Nghe cho kỹ nè. Hồi xưa người ta gặp mấy hệ phương trình kiểu như vầy:
$$
\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + y = 6 \end{cases}
$$
Hay trong không gian ba chiều thì kiểu:
$$
\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ -x + y + 2z = 1 \end{cases}
$$
Người ta mới hỏi: khi nào thì mấy cái hệ này có nghiệm duy nhất? Đó, từ cái câu hỏi đơn giản đó mới đẻ ra định thức đó con.
Ủa vậy định thức là để test coi hệ phương trình có “ổn áp” không hả ông?
Đúng bài luôn. Mày cứ tưởng tượng mỗi phương trình như một vector. Ví dụ ở 2D có 2 vector:
$$
\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix},\quad \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
Mà nếu hai cái này không song song thì tạo thành hình bình hành, có diện tích. Diện tích ≠ 0 → định thức ≠ 0 → hệ có nghiệm duy nhất. Ở 3D thì như vầy:
$$
\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix},\quad \vec{v}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}
$$
Ba vector này nếu “bung” được thành hình hộp có thể tích khác 0, thì định thức cũng khác 0 → hệ có nghiệm duy nhất.
Trời, giờ con hiểu rồi đó! Vậy định thức giống như cái máy soi xem vector có “trùng bài” không!
Mày nói đúng đó. Không cần hoa mỹ chi, chỉ cần mày hiểu: định thức khác 0 thì ma trận “có tư cách” làm biến đổi không gian. Còn bằng 0 là “xếp xó”. Không cứu vãn được.
Ghi vô sổ tay luôn. Cảm ơn ông nội. Bữa nay đỡ lú. Mai mốt học ma trận đỡ đập đầu vô bàn.
Giỏi. Mày còn nhớ câu này là ngon: “Định thức là tấm gương soi sự độc lập. Ai lặp lại – gương không chiếu.”
Nhưng mà mày biết không, cái định thức này không phải tự nhiên một ngày đẹp trời có ai phát minh ra đâu. Nó là cả một hành trình đó con, bắt đầu từ một câu hỏi rất... ngây thơ thôi.
Câu hỏi gì vậy ông?
Là câu này nè: "Làm sao biết một hệ phương trình có nghiệm duy nhất?". Người ta nhìn vào hệ:
$$
\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases}
$$
Và họ bắt đầu hiểu: ồ, nếu hai hàng không song song thì sẽ cắt nhau – tức là có nghiệm duy nhất.
Ý ông là… kiểm tra coi hai vector có độc lập không đúng không?
Đúng! Và trong $\mathbb{R}^2$, người ta nhận ra: cái $a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ chính là diện tích định hướng của hình bình hành tạo bởi 2 vector. Mà diện tích này khác 0 thì mới có nghiệm duy nhất → từ đó nảy sinh ra... định thức!
Vậy là định thức bậc 2 = diện tích? Còn định thức bậc 3 = thể tích?
Giỏi! Khi lên 3D thì định thức bậc 3 chính là thể tích định hướng của hình hộp. Nhưng mà... khi lên 4x4 trở lên thì tính tay đâu có nổi → phải đẻ ra cách tính đệ quy, gọi là... khai triển Laplace.
Rồi giờ mày học lên tới ma trận lớn hơn rồi phải không? 3x3, 4x4 mà bấm máy tính là đau đầu chứ gì? Người ta đâu có khùng mà tính bằng tay hoài – cho nên mới đẻ ra cái chiêu gọi là “khai triển Laplace”.
Laplace hả ông? Con nghe mà tưởng là tên nhãn hiệu túi xách gì luôn á…
Hề hề, Laplace là cách “tỉa” ma trận thành mấy ma trận nhỏ hơn – gọi là phần phụ đại số đó. Mỗi phần tử trong ma trận chính được nhân với định thức của cái ma trận con mà nó không nằm trên hàng/cột đó. Rồi cộng trừ xen kẽ theo dấu $(-1)^{i+j}$ – đó là Laplace.
Vậy là kiểu như bẻ nhỏ ra cho dễ tính á hả?
Đúng! Nhưng đừng tưởng là dễ nha, nó chỉ dễ cho cấp 3x3 thôi, chứ lên nữa là thở oxy liền á. Mà quan trọng là hiểu được **tư tưởng** – chia để trị. Mỗi lần mày tách 1 hàng hay 1 cột ra, mày gom mấy cái “khả năng còn lại” vào trong cái định thức con.
Ông ơi còn cái công thức hoán vị đó… Cái đó là gì mà thấy có chữ $\sigma$ như công thức thi đấu World Cup vậy?
Trời đất thằng nhỏ... cái đó là công thức hoán vị – tổ hợp để lấy đúng một phần tử mỗi hàng mỗi cột. Cứ tưởng tượng ma trận là bàn cờ, mỗi cách đặt quân hậu không trùng hàng trùng cột là một hoán vị. Mỗi hoán vị sẽ tạo ra một tích, rồi cộng lại với dấu tương ứng (thuận thì cộng, nghịch thì trừ).
Trời má nó chứ định thức mà xài nguyên cái tổ hợp hoán vị với đổi dấu thì cũng bá đạo thiệt ông ơi!
Rồi giờ mày học lên cao hơn chút nữa là sẽ gặp cái gọi là "tích ngoài" – exterior product. Đây mới là đỉnh cao đại số trừu tượng á nha, chứ không phải mấy cái định thức cộng trừ nhân chia bình thường đâu.
Tích ngoài? Tên nghe như chiêu cuối của pháp sư. Nó là cái gì vậy ông?
Là cách người ta gom các vector lại để tạo thành đối tượng hình học: đoạn, mặt phẳng, thể tích,... Khi mày lấy $v_1 \wedge v_2$ thì mày tạo ra một đối tượng biểu diễn mặt phẳng. Định thức chính là cách ánh xạ cái $v_1 \wedge v_2 \wedge ... \wedge v_n$ đó thành một con số. Số đó chính là thể tích định hướng.
Ghê ha… từ mấy cái vector mà bẻ ra nguyên cấu trúc hình học luôn. Đúng là định thức không phải dạng vừa đâu 😤
Chưa hết đâu. Định thức còn ứng dụng nhiều chỗ lắm: – Tính thể tích trong hình học máy tính – Xác định ma trận có khả nghịch không (nghĩa là có “cửa thoát hiểm” cho hệ phương trình) – Trong vật lý lượng tử, định thức còn dùng để biểu diễn trạng thái fermion nữa đó con! Cho nên học kỹ định thức là bước đệm để làm bá chủ đại số tuyến tính nha con.
Vậy là từ cái định thức nhỏ xíu mà mở ra nguyên thế giới hình học đại số luôn. Đỉnh thiệt đó ông 🫡
Ông ơi còn công thức Laplace gốc á, cái mà có dấu tổng với định thức con? Có phải cái đó mới là hàng real không?
Chuẩn luôn. Đây là công thức tổng quát của khai triển Laplace theo hàng thứ $i$:
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det(M_{ij})
$$Trong đó: – $a_{ij}$ là phần tử tại hàng $i$, cột $j$ – $M_{ij}$ là ma trận con (bỏ hàng $i$, cột $j$) – $(-1)^{i+j}$ là dấu “luân phiên” để định hướng – Ta có thể khai triển theo hàng hoặc cột tùy ý
Nắm công thức này rồi thì coi như đã đặt một chân vào đại điện thờ của định thức đó con 😎