Kiểm định ADF (Augmented Dickey-Fuller)

Trong phân tích chuỗi thời gian, khái niệm tính dừng (stationarity) đóng vai trò trung tâm. Một chuỗi thời gian dừng có kỳ vọng, phương sai và tự tương quan không thay đổi theo thời gian. Nếu hồi quy các chuỗi không dừng (chẳng hạn như giá chứng khoán thô) với nhau, ta rất dễ gặp phải hiện tượng hồi quy giả mạo (spurious regression) — kết quả cho ra $R^2$ cao nhưng thực tế các biến hoàn toàn không có mối quan hệ nhân quả.

Kiểm định Augmented Dickey-Fuller (ADF) là phương pháp tiêu chuẩn để kiểm tra xem một chuỗi có mang tính dừng hay không bằng cách phát hiện sự tồn tại của nghiệm đơn vị (unit root).

Khái niệm Nghiệm Đơn Vị (Unit Root)

$$ y_t = \rho y_{t-1} + \epsilon_t $$

• Nếu $|\rho| < 1$, các cú sốc $\epsilon_t$ sẽ suy giảm dần theo thời gian. Chuỗi có tính dừng.
• Nếu $\rho = 1$, mô hình trở thành bước đi ngẫu nhiên (random walk): $y_t = y_{t-1} + \epsilon_t$. Cú sốc không bao giờ tiêu biến, phương sai tăng dần theo thời gian. Chuỗi không dừng và được gọi là có một “nghiệm đơn vị”.

Phương trình Kiểm định ADF

Kiểm định Dickey-Fuller ban đầu chỉ áp dụng cho mô hình AR(1). Tuy nhiên, chuỗi thời gian thực tế thường có độ tự tương quan phức tạp hơn. Kiểm định “Mở rộng” (Augmented) Dickey-Fuller giải quyết điều này bằng cách bổ sung thêm các thành phần sai phân trễ (lagged differences) để loại bỏ tự tương quan bậc cao khỏi phần dư:

$$ \Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \delta_i \Delta y_{t-i} + \epsilon_t $$

Trong đó:

• $\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$ là sai phân bậc 1.
• $\alpha$ là hằng số (drift), $\beta t$ là xu hướng thời gian.
• $p$ là số độ trễ được thêm vào để đảm bảo sai số $\epsilon_t$ là nhiễu trắng.

Tham số trọng tâm cần kiểm định là $\gamma$ (với $\gamma = \rho - 1$).

• Giả thuyết không ($H_0$): $\gamma = 0$ (tức là $\rho = 1$). Chuỗi có nghiệm đơn vị (không dừng).
• Giả thuyết thay thế ($H_1$): $\gamma < 0$ (tức là $\rho < 1$). Chuỗi dừng (hoặc dừng xoay quanh một xu hướng xác định - trend-stationary).

Lưu ý khi giải thích kết quả

Thống kê kiểm định của ADF (giá trị t của hệ số $\gamma$) không tuân theo phân phối Student-t tiêu chuẩn mà tuân theo phân phối Dickey-Fuller. Nếu giá trị thống kê kiểm định nhỏ hơn (âm hơn) giá trị tới hạn, ta bác bỏ $H_0$ và kết luận chuỗi có tính dừng.

Tuy nhiên, việc chọn bậc trễ $p$ và xem xét chuỗi có hằng số hoặc xu hướng hay không có ảnh hưởng rất lớn đến độ chính xác của kiểm định ADF. Tương tự như các kiểm định khác, việc không bác bỏ được giả thuyết không không đồng nghĩa với việc “chứng minh” chuỗi có nghiệm đơn vị, mà chỉ là không có đủ cơ sở dữ liệu để kết luận chuỗi đã dừng.