Kiểm định Tỷ lệ bằng Likelihood Ratio (LR Test)

Trong thống kê suy diễn, một bài toán cực kỳ phổ biến là kiểm tra xem tỷ lệ xuất hiện của một biến cố trong mẫu quan sát có đi ngược lại so với kỳ vọng ban đầu hay không. Phương pháp Kiểm định tỷ số hợp lý (Likelihood Ratio Test - LR Test) cung cấp một khuôn khổ toán học chặt chẽ để trả lời câu hỏi này.

1. Phát biểu bài toán

Giả sử ta thực hiện $N$ phép thử độc lập (Bernoulli trials). Trong mỗi phép thử, biến cố $A$ có xác suất xảy ra là $p$. Sau $N$ phép thử, ta ghi nhận được $x$ lần biến cố $A$ xảy ra.

Ta muốn kiểm định xem xác suất thực sự $p$ có bằng một giá trị kỳ vọng $p_0$ cho trước hay không.

• Giả thiết null ($H_0$): $p = p_0$
• Giả thiết đối ($H_1$): $p \neq p_0$

Từ dữ liệu mẫu, ta có tỷ lệ thực tế ước lượng được là: $\hat{p} = \frac{x}{N}$.

2. Xây dựng hàm hợp lý (Likelihood Function)

Vì các phép thử là độc lập và chỉ có 2 kết quả (thành công/thất bại), tổng số lần xảy ra biến cố $A$ tuân theo phân phối Nhị thức (Binomial distribution). Hàm hợp lý $L(p)$ thể hiện xác suất quan sát được đúng $x$ thành công trên $N$ phép thử, với điều kiện xác suất thực sự là $p$:

$$ L(p) = \binom{N}{x} p^x (1 - p)^{N-x} $$$$ L_0 = L(p_0) = \binom{N}{x} p_0^x (1 - p_0)^{N-x} $$$$ L_1 = L(\hat{p}) = \binom{N}{x} \hat{p}^x (1 - \hat{p})^{N-x} $$

3. Thống kê tỷ số hợp lý (Likelihood Ratio Statistic)

$$ \Lambda = \frac{L_0}{L_1} = \frac{p_0^x (1 - p_0)^{N-x}}{\hat{p}^x (1 - \hat{p})^{N-x}} $$

(Hệ số tổ hợp $\binom{N}{x}$ bị triệt tiêu).

Theo định lý Wilks, thống kê kiểm định $LR$ được định nghĩa bằng logarith tự nhiên của $\Lambda$ nhân với $-2$:

$$ LR = -2 \ln(\Lambda) = -2 \ln \left( \frac{(1 - p_0)^{N-x} p_0^x}{(1 - \hat{p})^{N-x} \hat{p}^x} \right) $$

Dưới giả thiết $H_0$, khi kích thước mẫu $N$ đủ lớn, thống kê $LR$ tuân theo phân phối Chi-bình phương với 1 bậc tự do ($\chi^2_1$).

4. Tiêu chuẩn bác bỏ và Ứng dụng

Nếu tính toán được $LR$ lớn hơn giá trị tới hạn của phân phối $\chi^2_1$ (ví dụ: $3.841$ ở mức ý nghĩa $5%$), ta có đủ bằng chứng để bác bỏ giả thiết $H_0$. Điều này có nghĩa là tỷ lệ thực tế trong mẫu quá khác biệt so với tỷ lệ $p_0$ dự kiến ban đầu.

Ứng dụng thực tiễn: Phương pháp này mang tính tổng quát và có thể ứng dụng trong vô số bài toán:

1. Kiểm soát chất lượng (Quality Control): Kiểm tra xem tỷ lệ sản phẩm lỗi của một dây chuyền có vượt mức 1% cho phép hay không.
2. Quản trị rủi ro (Risk Management): Trong tài chính, mô hình VaR (Value at Risk) sử dụng biến thể của kiểm định này (gọi là Kiểm định Kupiec POF) để so sánh tỷ lệ ngày lỗ vượt ngưỡng với tỷ lệ rủi ro mục tiêu.
3. Y tế / Sinh học: Kiểm tra hiệu quả của một loại thuốc mới so với tỷ lệ hồi phục tự nhiên.