Độ co giãn thể tích của ánh xạ tuyến tính
Nếu bài về định thức trong hai chiều cho ta trực giác “định thức là diện tích”, thì bài này đi xa hơn một bước:
trong nhiều chiều, định thức đo hệ số co giãn thể tích của một ánh xạ tuyến tính.
Đây là một trong những cách hiểu quan trọng nhất của định thức, vì nó nối công thức đại số với hình học rất trực tiếp.
1. Phát biểu cốt lõi
$$ T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\qquad T(x)=Ax. $$$$ \operatorname{vol}(T(S))=|\det(A)|\cdot \operatorname{vol}(S). $$Phát biểu này nói rằng:
- $|\det(A)|$ cho biết thể tích bị nhân lên bao nhiêu lần;
- dấu của $\det(A)$ không ảnh hưởng đến độ lớn thể tích, nhưng cho biết định hướng có bị đảo hay không.
2. Vì sao phát biểu này hợp lý?
$$ C=[0,1]^n. $$$$ |\det(A)|. $$Tức là ngay ở ví dụ đầu tiên này, định thức đã xuất hiện như hệ số co giãn thể tích.
Một khi điều đó đúng với khối lập phương đơn vị, ta có thể tưởng tượng mọi miền $S$ như được ghép từ rất nhiều khối nhỏ. Vì ánh xạ tuyến tính tác động đều đặn lên mọi điểm, mỗi khối nhỏ đều bị co giãn cùng một tỉ lệ $|\det(A)|$. Cộng tất cả lại, ta nhận được đúng công thức trên.
3. Một phác thảo chứng minh
Ta không đi vào toàn bộ chi tiết giải tích nhiều biến, nhưng ý tưởng của chứng minh khá sáng sủa.
3.1 Bước 1: kiểm tra trên khối lập phương đơn vị
$$ T(C)=P, \qquad \operatorname{vol}(P)=|\det(A)|. $$Vậy trên khối lập phương đơn vị, hệ số co giãn thể tích đúng là $|\det(A)|$.
3.2 Bước 2: kiểm tra trên các khối lập phương nhỏ
Nếu ta co khối lập phương đơn vị xuống kích thước $h$, thể tích của nó giảm theo hệ số $h^n$. Ảnh của nó dưới $T$ cũng giảm theo đúng hệ số ấy. Vì vậy tỉ lệ giữa thể tích trước và sau vẫn không đổi, luôn bằng $|\det(A)|$.
Điều này vẫn đúng nếu ta tịnh tiến khối lập phương đi nơi khác, vì phép tịnh tiến không làm đổi thể tích.
3.3 Bước 3: ghép lại thành miền tổng quát
$$ \operatorname{vol}(T(S))=|\det(A)|\cdot \operatorname{vol}(S). $$4. Những ví dụ nên nhớ
4.1 Kéo giãn trong mặt phẳng
$$ A= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}. $$$$ \det(A)=6. $$Điều này có nghĩa là mọi hình trong mặt phẳng bị biến thành một hình mới có diện tích gấp $6$ lần.
4.2 Phép quay
$$ R_\theta= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}, $$$$ \det(R_\theta)=1. $$Vì vậy phép quay không làm đổi diện tích. Nó chỉ đổi vị trí, chứ không co giãn.
4.3 Phép chiếu làm mất chiều
$$ \det(A)=0. $$Khi đó mọi miền có thể tích dương đều bị ép thành một vật thể có thể tích bằng $0$ trong không gian gốc. Đây là cách đọc hình học sâu nhất của trường hợp định thức bằng $0$:
ánh xạ đã làm sụp đổ ít nhất một chiều độc lập.
4.4 Phản xạ
$$ \det(A)=-1. $$Điều này cho biết:
- diện tích vẫn được giữ nguyên vì $|\det(A)|=1$;
- nhưng định hướng bị đảo.
5. Hệ quả quan trọng
Từ phát biểu trên, ta đọc được ngay nhiều điều:
- nếu $\det(A)=0$, ánh xạ không khả nghịch;
- nếu $|\det(A)|>1$, ánh xạ làm nở thể tích;
- nếu $0<|\det(A)|<1$, ánh xạ làm co thể tích;
- nếu $|\det(A)|=1$, ánh xạ giữ nguyên thể tích;
- nếu $\det(A)<0$, ánh xạ đảo định hướng.
Vì vậy, ngoài việc cho biết ma trận có khả nghịch hay không, định thức còn mô tả hệ số co giãn thể tích và sự thay đổi định hướng của phép biến đổi tuyến tính.
6. Kết luận
Trong đại số tuyến tính, định thức có nhiều gương mặt:
- trong hai chiều, nó đo diện tích định hướng;
- trong ba chiều, nó đo thể tích định hướng;
- trong $n$ chiều, nó đo hệ số co giãn thể tích của ánh xạ tuyến tính.
Nếu ghi nhớ được câu
$|\det(A)|$ là hệ số co giãn thể tích,
thì rất nhiều công thức về định thức sẽ trở nên có nghĩa hơn hẳn.
Đọc tiếp
- Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ: bài này là phiên bản hai chiều đơn giản nhất của cùng trực giác hình học về định thức.
- Trực giác hình học của định thức: để thấy vì sao định thức không chỉ là công thức tính mà còn là thước đo co giãn hình học.
- Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sở: vì định lý trên thực chất là một cách đọc rất sâu về hành vi hình học của một phép biến đổi tuyến tính.