Histogram

Khi có trong tay một tập dữ liệu mới, điều đầu tiên chúng ta muốn biết thường là: Dữ liệu này phân bố như thế nào? Chỗ nào tập trung đông nhất? Có giá trị nào quá khác biệt (outlier) không?

Để trả lời nhanh chóng những câu hỏi này, Biểu đồ tần suất (Histogram) chính là công cụ phổ biến và trực quan nhất.

1. Histogram là gì?

Khác với biểu đồ cột (Bar chart) dùng để đếm các danh mục rời rạc (ví dụ: số người thích màu Đỏ, Xanh, Vàng), Histogram dùng để hiển thị sự phân bố của một biến liên tục (như chiều cao, cân nặng, hoặc điểm số).

Cách Histogram hoạt động rất đơn giản:

1. Chia toàn bộ dải giá trị của dữ liệu thành các khoảng bằng nhau (gọi là các bins).
2. Đếm số lượng điểm dữ liệu (tần suất) rơi vào mỗi khoảng đó.
3. Vẽ các cột liền kề nhau, với chiều cao của cột tương ứng với tần suất đếm được.

2. Một ví dụ đơn giản

Giả sử chúng ta có điểm thi của 30 học sinh (thang điểm 10) như sau: 3.6, 3.9, 4.4, 4.4, 4.8, 5.0, 5.1, 5.6, 5.7, 5.7, 5.8, 5.8, 5.8, 6.1, 6.1, 6.1, 6.2, 6.3, 6.6, 6.7, 6.9, 7.0, 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.7, 8.7, 8.8, 8.9

Nếu chúng ta chia điểm số thành các khoảng (bins) có độ rộng là 2 điểm:

• Bin [0 - 2): 0 học sinh
• Bin [2 - 4): 2 học sinh
• Bin [4 - 6): 11 học sinh
• Bin [6 - 8): 14 học sinh
• Bin [8 - 10]: 3 học sinh

Khi dựng các cột tương ứng với tần suất đếm được, chúng ta sẽ có ngay một biểu đồ Histogram trực quan. Qua đó, ta thấy ngay điểm số tập trung đông đảo nhất ở mức trung bình khá (6 - 8 điểm), và rất ít người bị điểm yếu (dưới 4) hay xuất sắc (trên 8).

3. Vấn đề của Histogram: Độ rộng Bin và Điểm Neo

Mặc dù rất trực quan, Histogram có một “gót chân Achilles” lớn. Như đã được đề cập trong bài viết về Q-Q Plot, biểu đồ Histogram có một hạn chế lớn:

Tuy nhiên, hình dạng của Histogram có thể thay đổi đáng kể theo độ rộng bin (bin width) và điểm neo bắt đầu. Với một tập dữ liệu nhỏ hoặc vừa, việc đổi số bin có thể làm một cấu trúc gần hình chuông trông lởm chởm hoặc có nhiều đỉnh. Vì vậy, không nên kết luận về phân phối chỉ từ một cách chia bin duy nhất.

Để thấy rõ điều này, hãy thử tương tác với biểu đồ dưới đây. Tập dữ liệu bên dưới được mô phỏng theo phổ điểm Tiếng Anh THPT Quốc gia 2021 (với hình dáng 2 đỉnh đặc trưng). Hãy thử thay đổi Độ rộng Bin và Điểm neo bắt đầu để xem bản chất 2 đỉnh của phân phối có thể bị bóp méo hoặc che giấu hoàn toàn như thế nào chỉ bằng những thiết lập chia nhóm chủ quan:

Đây cũng là lý do ở những bài toán cần phân tích hình dáng phân phối, người ta thường kết hợp Histogram với những công cụ ít phụ thuộc vào lựa chọn trình bày hơn như Q-Q plot. Histogram vẫn là bước thăm dò dữ liệu (exploratory data analysis) đầu tiên rất hữu ích; điều quan trọng là xem nó như điểm khởi đầu của quá trình chẩn đoán, chứ không phải kết luận cuối cùng.

4. Chồng phân phối lý thuyết lên Histogram

Histogram không chỉ dùng để mô tả dữ liệu. Nó còn gợi ra một cách kiểm tra trực quan ban đầu: chồng phân phối lý thuyết mà ta muốn đối chiếu lên Histogram thực nghiệm. Chẳng hạn, nếu ta nghi ngờ điểm số có phân phối gần chuẩn, ta có thể đặt các cột của dữ liệu cạnh đường mật độ của một phân phối chuẩn và quan sát xem hai hình dáng có ăn khớp hay không.

Vì phân phối chuẩn là một phân phối liên tục, đối tượng lý thuyết được chồng lên biểu đồ chính xác hơn là đường mật độ, không phải một Histogram thứ hai. Để so sánh có ý nghĩa, hai lớp hình phải dùng cùng một thang đo. Với $n$ quan sát, độ rộng bin $h$ và $n_j$ quan sát trong bin thứ $j$, ta vẽ chiều cao cột bằng

$$ \widehat f_j=\frac{n_j}{nh}. $$

Khi đó tổng diện tích các cột bằng $1$, cùng đơn vị với hàm mật độ. Nếu vẫn giữ trục tung là số đếm, ta phải nhân đường mật độ lý thuyết với $nh$; không nên đặt trực tiếp một đường mật độ lên Histogram số đếm rồi so sánh độ cao.

Nếu tham số của phân phối chuẩn chưa được cho trước, một lựa chọn tự nhiên là ước lượng chúng từ mẫu: $\widehat\mu=\bar x$ và $\widehat\sigma=s$. Đường được chồng lên khi ấy là

$$ f(x\mid \widehat\mu,\widehat\sigma) =\frac{1}{\widehat\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left[-\frac12\left(\frac{x-\widehat\mu}{\widehat\sigma}\right)^2\right]. $$

Biểu đồ dưới đây dùng lại 30 điểm số ở ví dụ trên. Histogram đã được chuẩn hoá về mật độ; đường màu cam là mật độ chuẩn với $\widehat\mu\approx 6{,}23$ và $\widehat\sigma\approx 1{,}36$ ước lượng từ chính mẫu đó.

Cách đọc rất tự nhiên: ta so sánh vị trí trung tâm, độ phân tán, mức độ đối xứng và đặc biệt là hai đuôi. Nếu đường bao của các cột nhìn chung bám theo đường lý thuyết và không xuất hiện sai lệch có hệ thống, dữ liệu có vẻ tương thích với phân phối đang xét. Nếu các cột lệch hẳn về một phía, có nhiều đỉnh, hoặc hai đuôi dày/mỏng hơn rõ rệt, giả thiết phân phối đó đáng nghi ngờ.

Lưu ý quan trọng: Sự ăn khớp bằng mắt chỉ là bằng chứng thăm dò, không chứng minh dữ liệu thật sự tuân theo phân phối lý thuyết. Với mẫu nhỏ, dao động ngẫu nhiên có thể tạo ra các chỗ lồi lõm; còn với cách chia bin khác, cảm giác khớp hay không khớp cũng có thể thay đổi.

Chính điểm cuối này dẫn ta đến biểu đồ Q-Q. Histogram so sánh khối lượng dữ liệu theo từng khoảng nên làm mất vị trí cụ thể của các quan sát bên trong mỗi bin. Q-Q plot đi thêm một bước: nó đối chiếu trực tiếp từng phân vị mẫu với phân vị lý thuyết, không cần chia bin và thường làm lộ sai lệch ở hai đuôi rõ hơn. Vì vậy, quy trình hợp lý là dùng Histogram chồng đường mật độ để có cái nhìn toàn cảnh trước, rồi dùng Q-Q plot để kiểm tra cấu trúc phân phối kỹ hơn.