Sinh số ngẫu nhiên

Trong mô phỏng, máy tính thường dùng các thuật toán xác định để sinh số giả ngẫu nhiên (pseudo-random numbers). Nhiều phương pháp Monte Carlo bắt đầu từ các giá trị mô phỏng phân phối đều trên khoảng $[0,1]$, ký hiệu $U\sim\text{Uniform}(0,1)$. Linear Congruential Generator là một ví dụ lịch sử đơn giản; các thư viện hiện đại thường dùng những bộ sinh có chất lượng thống kê tốt hơn.

Tuy nhiên, trong tài chính và thống kê, chúng ta hiếm khi chỉ cần phân phối đều. Chúng ta cần phân phối Chuẩn (Normal), phân phối Student-t, v.v. Làm sao để biến đổi từ Uniform sang các phân phối khác?

Phương pháp biến đổi ngược
(Inverse CDF Method)

Nếu bạn biết hàm phân phối tích lũy (CDF) $F(x)$ của một biến ngẫu nhiên, bạn có thể sinh ra nó bằng cách lấy $X = F^{-1}(U)$, với $U \sim \text{Uniform}(0, 1)$. Tuy nhiên, với phân phối Chuẩn, hàm $F^{-1}$ không có dạng biểu diễn đơn giản, khiến phương pháp này kém hiệu quả.

Phép biến đổi Box-Muller
(Box-Muller Transform)

Để sinh các biến ngẫu nhiên có phân phối Chuẩn $N(0,1)$ từ các biến đều độc lập, ta có thể dùng phép biến đổi Box-Muller. Ý tưởng là chuyển từ tọa độ Descartes sang tọa độ cực.

$$ Z_1 = \sqrt{-2 \ln(U_1)} \cos(2\pi U_2) $$$$ Z_2 = \sqrt{-2 \ln(U_1)} \sin(2\pi U_2) $$

Trực giác: $\sqrt{-2 \ln(U_1)}$ đóng vai trò như bán kính (có bình phương tuân theo phân phối Exponential, tương đương với phân phối Chi-bình phương bậc tự do 2 của $Z_1^2 + Z_2^2$), và $2\pi U_2$ là góc quay phân phối đều từ $0$ đến $2\pi$.

Công cụ dưới đây minh họa phép biến đổi Box-Muller. Bên trái là một mẫu giả ngẫu nhiên $(U_1,U_2)$ trong hình vuông $[0,1]\times[0,1]$; bên phải là các điểm tương ứng sau khi biến đổi thành $(Z_1,Z_2)$. Khi tăng số điểm $N$, hình dạng thực nghiệm thường tiến gần hơn đến mật độ chuẩn hai chiều, nhưng từng lần mô phỏng hữu hạn vẫn có dao động lấy mẫu.

Sinh biến ngẫu nhiên Student-t

Trong tài chính, lợi suất cổ phiếu hiếm khi hoàn toàn tuân theo phân phối Chuẩn. Chúng thường có “đuôi dày” (heavy tails) — nghĩa là các sự kiện cực đoan (như khủng hoảng thị trường) xảy ra thường xuyên hơn so với dự đoán của phân phối Chuẩn.

$$ T = \frac{Z}{\sqrt{V / \nu}} $$

Biến $\chi^2_\nu$ bản thân nó có thể được sinh ra bằng cách cộng tổng bình phương của $\nu$ biến phân phối chuẩn tắc độc lập (nếu $\nu$ nguyên), hoặc sử dụng các phép biến đổi từ phân phối Gamma.

Đồ thị dưới đây minh họa thuật ngữ “đuôi dày” (heavy tails) bằng cách so sánh mật độ của phân phối Chuẩn và Student-t. Khi bậc tự do $\nu$ nhỏ, phân phối Student-t gán xác suất lớn hơn cho các giá trị xa tâm. Khi $\nu$ tăng, phân phối Student-t hội tụ về phân phối Chuẩn. Đây là một mô hình cho biến cố cực đoan, không phải khẳng định rằng mọi chuỗi lợi suất đều tuân theo Student-t.

Sơ đồ “Gia phả” các phân phối

Sơ đồ dưới đây tóm tắt cách biến đổi các biến đều thành một số phân phối khác. Phân phối Chuẩn và Student-t thường được dùng trong các mô hình rủi ro như VaR hoặc ES; việc chọn phân phối nào cần dựa trên giả thiết mô hình, dữ liệu và kiểm định phù hợp.