Du Mã

Nhân tử lấy tích phân - Integrating Factor

Du Mã đăng ngày 2025-Sep-09 trong Analysis ODE PDE

1. Ta đi từ PDE về ODE

Sau khi đi theo đường đặc trưng, PDE trở thành ODE:

$$ U'(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))} + \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\, U(s), $$

trong đó $U(s) = u(s, X(s))$.

Đây là ODE tuyến tính bậc nhất dạng:

$$ U'(s) - \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\,U(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))}. $$

2. Đặc điểm của ODE tuyến tính bậc nhất

Một ODE tuyến tính bậc nhất có dạng tổng quát:

$$ y'(s) + \textcolor{#1E90FF}{a(s)}\,y(s) = \textcolor{#FF1394}{b(s)}. $$

Muốn giải loại này, ta dùng nhân tử lấy tích phân (integrating factor).

Hội tụ

Du Mã đăng ngày 2025-Sep-01 trong Analysis

1. Hội tụ của chuỗi lũy thừa

Chuỗi hình học là chuẩn vàng

$$\sum_{n=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{r}^n$$

hội tụ khi $|r|<1$. $r$ còn được gọi là “tỉ số” (ratio) của chuỗi hình học. Đây thường là tiêu chuẩn cơ bản để so sánh rất nhiều chuỗi khác. Thậm chí, đây cũng là công cụ cốt lõi để so sánh các chuỗi lũy thừa.

Chuỗi lũy thừa và hạng tử điển hình

$$\sum_{n=0}^\infty a_n s^n = \sum_{n=0}^\infty a_n (s-0)^n.$$$$|a_n s^n|^{1/n} = |a_n|^{1/n} \cdot |s|.$$$$\sum_{n=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{(|a_n|^{1/n} \cdot |s|)}^n.$$$$|a_n|^{1/n} \cdot |s| < 1.$$$$|s| < \frac{1}{|a_n|^{1/n}}.$$

Vậy nếu $|a_n|^{1/n}$ không vượt quá một giá trị $L$ nào đó, thì chuỗi hội tụ khi $|s| < \frac{1}{L}$. Và $R := \frac{1}{L}$ lúc này chính là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

“Tản mạn ghi chú về các định lý xác suất”

Du Mã đăng ngày 2025-Aug-14 trong Mix Statistics

1. Tại sao người ta thích Định lý Giới hạn Trung tâm (CLT) đến vậy?

Trong thực tế, mỗi loại dữ liệu có thể theo một phân phối khác nhau, khiến việc xây dựng kiểm định hay ước lượng trở nên phức tạp. Vậy làm sao ước lượng và ra quyết định khi không biết rõ phân phối thật sự của dữ liệu?

CLT là lý do giải quyết: “Với cỡ mẫu đủ lớn, phân phối của trung bình mẫu sẽ gần chuẩn, bất kẻ phân phối gốc ra sao” (miễn có kỳ vọng và phương sai hữu hạn).

Những hiểu lầm phổ biến liên quan đến Thuyết Lượng tử

Du Mã đăng ngày 2025-Apr-13 trong Quantum Theory

Vật lý lượng tử (cơ học lượng tử) là một trong những lý thuyết khoa học thành công nhất, nhưng cũng nổi tiếng khó hiểu. Chính sự phản trực giác của nó đã dẫn đến nhiều hiểu lầm phổ biến. Dưới đây, tôi xin liệt kê và phân tích các hiểu lầm thường gặp về vật lý lượng tử, đồng thời giải thích tại sao chúng sai và cách hiểu đúng theo quan điểm vật lý hiện đại. Mỗi mục đều có ví dụ minh họa và ý kiến từ các chuyên gia hàng đầu (Sabine Hossenfelder, Sean Carroll, Jim Al-Khalili, Carlo Rovelli, v.v.) để hỗ trợ lập luận.

Trực giác hình học của định thức

Du Mã đăng ngày 2025-Apr-12 trong Linear-Algebra

Ê mày, học tới đâu rồi, bữa nay thấy trầm tư dữ ha?

Dạ con đang học cái định thức, mà càng học càng lú ông ơi 😵 Cái gì mà hoán vị, đổi dấu, cộng trừ rối não vậy?

Trời đất... tới định thức mà cũng làm mày bối rối hả? Nghe ông nói nè. Thiên hạ không ai biết chính xác định thức xuất phát từ đâu đâu. Lịch sử nó mù mờ như khói nhang, lúc thì Trung Quốc cổ, lúc thì châu Âu. Nhưng mà giờ may mắn nha, có ông – siêu cấp bro trùm sò đại số – kể lại cho nghe theo kiểu hiện đại, hiểu liền luôn!

Dạ ông kể đi, chứ con học toán mà thấy như đang lạc trong rừng mưa Amazon á 😵‍💫

Tình hình hiện tại của Lý thuyết Dây trong vật lý lý thuyết

Du Mã đăng ngày 2025-Apr-12 trong String Theory

Giới thiệu

Lý thuyết Dây (String Theory) từ lâu đã được xem là một ứng viên hàng đầu cho “Thuyết vạn vật” – tức lý thuyết thống nhất mọi lực và hạt cơ bản trong tự nhiên. Thay vì coi các hạt là những điểm không có kích thước, lý thuyết dây mô hình hóa chúng như các dây một chiều cực nhỏ, dao động ở những tần số khác nhau. Mỗi kiểu dao động của dây tương ứng với một loại hạt cơ bản khác nhau (String theory | symmetry magazine) (String theory | symmetry magazine).